[Năm 2024] Đề thi Giữa kì 1 Toán lớp 8 Hà Nội có đáp án (10 đề)

[Năm 2024] Đề thi Giữa kì 1 Toán lớp 8 Hà Nội có đáp án (10 đề)

Tuyển chọn [Năm 2024] Đề thi Giữa kì 1 Toán lớp 8 Hà Nội có đáp án (10 đề) chọn lọc được các Giáo viên nhiều năm kinh nghiệm biên soạn và sưu tầm từ đề thi Toán 8 của các trường THCS. Hi vọng bộ đề thi này sẽ giúp học sinh ôn tập và đạt kết quả cao trong các bài thi Giữa kì 1 môn Toán 8.

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa kì 1 Hà Nội

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 1)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Hãy viết vào tờ giấy thi chữ cái in hoa đứng trước câu trả lời đúng

Câu 1. Khai triển biểu thức x³ - 8y³  ta được kết quả là: 

A. (x - 2y)³                                B. x³ - 2y³      

B. (x - 2y)(x + 2xy + 4y²)         D. x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³   

Câu 2. Kết quả phép tính -x³(3 - 2x) là

A. 3x² - 2x³                  B. 2x³ - 3x²               C. -3x³ + 2x³            D. -4x²  

Câu 3. Để 4y² - 12y +  trở thành một hằng đẳng thức. Giá trị trong ô vuông là

A. 6.                B. 9.                  C. -9                D. Một kết quả khác

Câu 4. Biểu thức 101² - 1 có giá trị bằng

A. 100                   B. 100²                    C. 102000              D. Một kết quả khác

Câu 5. Giá trị của biểu thức x² + 2xy + y² tại x = -1 và y = - 3 bằng.

A. 16                    B. -4                     C. 8                             D. Một kết quả khác

Câu 6. Biết 4x(x² - 25) = 0, các số x tìm được là:

A. 0; 4; 5                B. 0; 4                 C. -5;0;5            D. Một kết quả khác 

Câu 7. Phân tích thành nhân tử

A. -2x + 4 = 2(2 - x)       B. -2x + 4 = -2(2 - x)  

C. -2x + 4 = -2(x + 2)     D. -2x + 4 = 2(x - 2) 

Câu 8. Thực hiện phép nhân x(x - y) ta được:

 A. x² - y            B. x - xy            C.  x - x²             D. x² - xy  

II. PHẦN TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Bài 1 (1,5đ):  Phân tích các đa thức sau thành nhân tử  

a) 36a⁴ - y²          b) 6x² + x - 2

Bài 2 (1,5đ): Tìm x, biết

a) x(x - 4) + 1 = 3x - 5               b) 2x³ - 3x² - 2x + 3 = 0

Bài 3 (1,5đ): 

a) Cho biểu thức A = x³ - 9x² + 27x - 27. Tính giá trị của A khi x = 1 

b) Tìm đa thức thương và đa thức dư trong phép chia đa thức A(x) cho B(x). 

Biết: A(x) = 2x³ + x² - x + a và B(x) = x - 2.

Bài 4 (3,0đ): Cho hình bình hành ABCD có AB > BC. Đường phân giác của góc D cắt AB tại M, đường phân giác của góc B cắt CD tại N.

a/ Chứng minh AM = CN.

b/ Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành.

c/ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M và N trên BN và DM. Chứng minh hai đoạn thẳng AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Bài 5 (0,5đ): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  

A = -2x² - 10y² + 4xy + 4x + 4y + 2016

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

II. PHẦN TỰ LUẬN (8 ĐIỂM )

Bài	Nội dung	Thang điểm
Bài 1 (1,5 đ)	a) 36a4 - y2 = (6a)2 - y2 = (6a - y)(6a + y) = 6x2 + x - 2 = 6x2 + 4x - 3x - 2 = 2x(3x + 2) - (3x + 2) = (2x - 1)(3x + 2)	0,75 0,75
Bài 2 (1,5 đ)	x(x - 4) + 1 = 3x - 5 ⇔ x(x - 1) - 6(x - 1) = 0 ⇔ (x - 1)(x - 6) = 0 Vậy x ∈ là giá trị cần tìm  b/ 2x3 - 3x2 - 2x + 3 = 0  ⇔ x2(2x - 3) - (2x - 3) = 0 ⇔ (2x - 3)(x2 - 1) = 0 ⇔ (2x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0 ⇔..... ⇔   Vậy  là giá trị cần tìm	0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 3 (1,5 đ)	Xét biểu thức A = x3 - 9x2 + 27x - 27 = x3 - 3.x2.3 + 3.x.32 - 33  = (x - 3)3 Với x = 1 biểu thức A được viết lại như sau: A = (1 - 3)3 = (-2)3 = -8 Vậy A = -8 khi x = 1 b/ Thực hiện đúng được phép chia A(x) = 2x3 + x2 - x + a cho B(x) = x - 2, tìm được thương bằng: 2x2 + 5x + 9 và dư bằng a + 18	0,25 0,25 1,0
Bài 4 (3,0đ)	Vẽ đúng hình	0,25
	a/ Chứng minh được AM = CN	1,25
	b/ Chứng minh được tứ giác DMBN là hình bình hành.	1,0
	c/ Lập luận chặt chẽ chỉ ra được hai đoạn thẳng AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.	0,5
Bài 5 (0,5đ)	A = -2x2 - 10y2 + 4xy + 4x + 4y + 2016 = -2[x3 - 2x(y + 1) + (y + 1)2 + (4y2 - 4y + 1) - 1010] = -2(x - y - 1)2 - 2(2y - 1)2 + 2020 GTLN của A bằng 2020 khi	0,25 0,25

                  

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa kì 1 Hà Nội

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 2)

A. TRẮC NGHIỆM (3 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng trong mỗi trường hợp sau:

1) Tích của đơn thức: x² và đa thức 5x³ - x - 1 là :

A.  5x⁶ - x³ - x²          B. -5x⁵ + x³ + x²        C. 5x⁵ - x³ - x²      D. 5x⁵ - x - 1

2) Đa  thức 3x² - 12 được phân tích thành nhân tử là :

A.  3x(x - 2)²      B. 3x(x² + 4)     C. 3x(x - 2)(x + 2)     D. x(3x - 2)(3x + 2) 

3) Cho tứ giác ABCD biết ∠A = 50⁰ ; ∠C = 60⁰; ∠D = 100⁰, khi đó số đo ∠B là

A.  150⁰     B. 105⁰      C. 75⁰     D. 30⁰ 

4) Đa thức x⁴ - 3x³ + 6x² - 7x + m chia hết cho đa thức x - 1 khi  m bằng.

A.  0.                 B. -3                    C. 3.                    D. 1. 

5) Giá trị nhỏ nhất của đa thức A = x² + 4x + 11 là 

A.  7.                  B. -2                    C. -4                   D. 11.

6) Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC. D là điểm đối xứng với A qua O. Đẳng thức nào sai trong các đẳng thức sau?

B. TỰ LUẬN (7 điểm) 

Câu 1 (2 điểm)

1) Tìm x biết x(x - 1) + x - 1 = 0

2) Tính giá trị biểu thức: A = (x - y)(x² + xy + y²) + 2y³ tại

Câu 2 (2 điểm) Cho đa thức A = 2x⁴ + 3x³ - 4x² - 3x + 2 và đa thức B = x + 2  

1) Làm tính chia đa thức A cho đa thức B.

2) Hãy phân tích đa thức thương của phép chia đa thức A cho đa thức B thành nhân tử.

Câu 3 (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD trong đó có BC = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD .

1) Chứng minh rằng tứ giác MNDC là hình bình hành.          

2) Kẻ DE vuông góc với AB tại E, DE cắt MN tại F. Chứng minh F là trung điểm của DE.

3) Chứng minh rằng: ∠ABC = 2∠BEM .

Câu 4 (0,5 điểm)  Cho các số x, y, z thỏa mãn đồng thời: x + y + z = 1; x² + y² + z² = 1; x³ + y³ + z³ = 1. Tính giá trị của biểu thức: M = x⁸ + y¹¹ + z²⁰¹⁸  

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2

Câu	Ý	Nội dung	Điểm
		A. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)
	1	C	0,5
	2	C	0,5
	3	A	0,5
	4	C	0,5
	5	A	0,5
	6	B	0,5
		B. TỰ LUẬN (7 điểm)
1	1	x(x - 1) + (x - 1) = 0 ⇔ (x - 1)(x + 1) = 0 => x = 1 hoặc x = -1 Vậy x ∈ {-1;1}	0,25 0,5 0,25
	2	A = (x - y)(x2 + xy + y2) + 2y3 = x3 + y3 Tại biểu thức A có giá trị là	0,5 0,5
2	1	Thực hiện được đúng phép chia (2x4 + 3x3 - 4x2 - 3x + 2) : (x + 2) = 2x3 - x2 - 2x + 1	1
	2	2x3 - x2 - 2x + 1 = 2x(x2 - 1) - (x2 - 1) = (x2 - 1)(2x - 1) = (x + 1)(x - 1)(2x - 1)	0,5 0,5
3	1		0,25
		Chỉ ra được MC // ND và MC = ND Do đó tứ giác MNDC là hình bình hành.	0,25 0,5
	2	- Chỉ ra được NF // AE và N là trung điểm cạnh AD của tam giác DAE => F là trung điểm của DE.	0,25 0,25 0,5
	3	Ta có : ∠BEM = ∠EMN ( cặp góc soletrong) Chỉ ra được tam giác MED cân tại M => ∠EMN = ∠NMD   Chỉ ra được ∠NMD = ∠MNB  Do đó ∠BEM = ∠MNB Mặt khác ∠NBM = ∠MNB (tam giác BMN cân tại M) và ∠NBA = ∠MNB (cặp góc so le trong) Vậy ∠ABC = 2∠BEM.	0,25 0,25
4		Ta có: (x + y + z) = x + y + z + 3(x + y)(y + z)(z + x)  kết hợp các điều kiện đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 => Một trong các thừa số của tích (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0 Giả sử (x + y) = 0 kết hợp với đ/k: x + y + z = 1 => z = 1 kết hợp với điều kiện: x + y + z = 1 => x = y = 0 Vậy trong 3 số x, y, z phải có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1. Vậy S = 1	0,25 0,25

Chú ý: Dưới đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của học sinh phải trình bày chi tiết. HS giải bằng nhiều cách khác nhau đúng vẫn cho điểm từng phần tương ứng.

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa kì 1 Hà Nội

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 3)

Câu 1. (2, 5 điểm)

1) Thực hiện phép tính : 

a) 2x(3x² - 4x + 2)                             b) 2x(3x + 5) - 3(2x² - 2x + 3)

c) (2x + 1)(3x² - x + 2)

2) Tính giá trị của biểu thức A = x² - 6xy + 9y² - 15 tại x = 37; y = -1 

Câu 2. (1,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 9x²y + 15xy² - 3x               b) 3z(z - 2) + 5(2 - z)  

c) x² + 4xy - 4z² + 4y²            d) x² + 2x - 15 

Câu 3. (2,0 điểm) Tìm x biết:

a) x² - 4x = 0           b) (2x + 1)² - 4x(x + 3) = 9                c) x² - 12x = -36 

Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = AD  

Gọi F là giao điểm của EC và AB  

a) Chứng minh tứ giác AEBC là hình bình hành. 

b) Chứng minh FE = FC 

c) Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho MC = CD Chứng minh ba điểm E, B, M thẳng hàng.

Câu 5. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 

A = x² + y² + z² - yz - 4x - 3y + 2027

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 3

Câu 1. (2, 5 điểm)

1) Thực hiện phép tính:

a) 2x(3x² - 4x + 2)                             b) 2x(3x + 5) - 3(2x² - 2x + 3)

c) (2x + 1)(3x² - x + 2)

2) Tính giá trị của biểu thức A = x² - 6xy + 9y² - 15 tại x = 37; y = -1

Lời giải

1) Thực hiện phép tính:

a) 2x(3x² - 4x + 2) = 2x.3x² - 2x.4x + 2x.2

= 6x³ - 8x² + 4x          

b) 2x(3x + 5) - 3(2x² - 2x + 3)

= 2x.3x + 2x.5 - 3.2x² + 3.2x - 3.3

= 6x² + 10x - 6x² + 6x - 9

= 16x - 9  

c) (2x + 1)(3x² - x + 2)

= 2x.3x² - 2x.x + 2x.2 + 1.3x² - 1.x + 1.2

= 6x³ - 2x² + 4x + 3x² - x + 2

= 6x³ + x³ + 3x + 2

2. Tính giá trị của biểu thức A = x² - 6xy + 9y² - 15 tại x = 37; y = -1

Ta có A = x² - 6xy + 9y² - 15 = x² - 2.x.3y + (3y)² - 15 = (x - 3y)² - 15    

Thay x = 37; y = -1 vào biểu thức A = (x - 3y)² - 15 ta có 

A = (37 - 3(-1))² - 15 = (37 + 3)² - 15 = 40² - 15 = 1600 - 15 = 1585

Vậy giá trị của biểu thức A = x² - 6xy + 9y² - 15  tại x = 37; y = -1 là 1585 

Câu 2. (1,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 9x²y + 15xy² - 3x               b) 3z(z - 2) + 5(2 - z)  

c) x² + 4xy - 4z² + 4y²           d) x² + 2x - 15

Lời giải

a) 9x²y + 15xy² - 3x = 3x(3xy + 5y² - 1)   

b) 3z(z - 2) + 5(2 - z) = 3z(z - 2) - 5(z - 2) = (3z - 5)(z - 2)      

c) x² + 4xy - 4z² + 4y² = (x² + 4xy + 4y²) - 4z²   

= (x + 2y)² - (2z)² = (x + 2y - 2z)(x + 2y + 2z) 

d) x² + 2x - 15 = x² - 3x + 5x - 15 = x(x - 3) + 5(x - 3)

= (x - 3)(x + 5) 

Câu 3. (2,0 điểm) Tìm   biết:

a) x² - 4x = 0           b) (2x + 1)² - 4x(x + 3) = 9                c) x² - 12x = -36

Lời giải

a) x² - 4x = 0 

   

Vậy, x ∈  

b) (2x + 1)² - 4x(x + 3) = 9 

⇔ 4x² + 4x + 1 - 4x² - 12x - 9 = 0

⇔ -8x - 8 = 0 ⇔ -8(x + 1) = 0 

⇔ x + 1 = 0

⇔ x = -1

Vậy x = -1 

c) x² - 12x = -36  

⇔ x² - 12x + 36 = 0

⇔ (x - 6)² = 0

⇔ x - 6 = 0

⇔ x = 6  

Vậy x = 6  

Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = AD  

Gọi F là giao điểm của EC và AB  

a) Chứng minh tứ giác AEBC là hình bình hành. 

b) Chứng minh FE = FC 

c) Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho MC = CD Chứng minh ba điểm E, B, M thẳng hàng.

Lời giải

 

a) Chứng minh tứ giác AEBC là hình bình hành.

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra

AD // BC và AD = BC

AB // CD và AB = DC 

Xét tứ giác AEBC có: AE // BC (do AD // BC và E, A, D thẳng hàng) và AE = BC (= AD). Suy ra tứ giác AEBC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Chứng minh FE = FC  

Hình bình hành AEBC có hai đường chéo là AB và EC. Mà F là giao điểm của AB và EC nên suy ra F là trung điểm mỗi đoạn (tính chất).

F là trung điểm EC nên FE = FC 

c) Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho MC = CD Chứng minh ba điểm E,B,M thẳng hàng.

Xét tứ giác ABMC có: AB // CM (do AB // DC và D, C, M thẳng hàng) và AB = CM (= DC) Suy ra tứ giác ABMC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). Suy ra AC // BM (tính chất).

Vì tứ giác AEBC là hình bình hành nên AC // EB (tính chất).

Từ đó suy ra EB trùng BM. Vậy ba điểm E, B, M thẳng hàng (đpcm).

Câu 5. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 

A = x² + y² + z² - yz - 4x - 3y + 2027

Lời giải

A = x² + y² + z² - yz - 4x - 3y + 2027

   

Vì  với mọi x,y,z nên

 với mọi x,y,z

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Suy ra

Suy ra

Suy ra x = 2; y = 2; z = 1  

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2020 khi x = 2; y = 2; z = 1

                 

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa kì 1 Hà Nội

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 4)

Câu 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a. 3xy - 9x²             b. x³ + 343               c. 25 - x² + 2xy - y²  

Câu 2. Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức: 

Câu 3. Tìm x, biết:

a) 3(x - 1)² + (x + 5)(2 - 3x) = -25                        b) (x - 2)² - 4x + 8 = 0 

Câu 4. Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Điểm P đối xứng với điểm H qua đường thẳng BC. Điểm Q đối xứng với điểm H qua điểm M.

a) Chứng minh PQ // BC. Khi đó tứ giác DMQP là hình gì ? Vì sao ?

b) Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành. Tính số đo các góc ∠ACQ, ∠ABQ.

c) Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ΔABC. Chứng minh rằng điểm O cách đều 5 điểm A,B,P,Q,C.

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (x² + 4x + 1)² - 12(x + 2)² + 2093.

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 4

Câu 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a. 3xy - 9x²             b. x³ + 343               c. 25 - x² + 2xy - y² 

Lời giải

a. 3xy - 9x² = 3x(y - 3x) 

b. x³ + 343 = x³ + 7³ = (x + 7)(x² - 7x + 49)   

c. 25 - x² + 2xy - y² = 25 - (x - y)² = (5 + x - y)(5 - x + y) 

Câu 2. Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức: 

Lời giải

⇔ A = x³- 6x² + 12x - 8

Với x = 1; y = 2020 ta có A = 1³ - 6.1² + 12.1 - 8 = -1

Câu 3. Tìm x, biết:

  a) 3(x - 1)² + (x + 5)(2 - 3x) = -25                        b) (x - 2)² - 4x + 8 = 0

Lời giải

a) 3(x - 1)² + (x + 5)(2 - 3x) = -25   

⇔  3x² - 6x + 3 - 3x² - 13x + 10 + 25 = 0   

⇔ -19x + 38 = 0 ⇔ x = 2      

Vậy x = 2 

b) (x - 2)² - 4x + 8 = 0  

⇔ (x - 2)(x - 2 - 4) = 0     

⇔ (x - 2)(x -6) = 0    

⇔      

Vậy x ∈  

Câu 4. Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Điểm P đối xứng với điểm H qua đường thẳng BC. Điểm Q đối xứng với điểm H qua điểm M.

a) Chứng minh PQ // BC. Khi đó tứ giác DMQP là hình gì ? Vì sao ?

b) Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành. Tính số đo các góc ∠ACQ, ∠ABQ.

c) Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ΔABC. Chứng minh rằng điểm O cách đều 5 điểm A,B,P,Q,C.

Lời giải

                                             

a) Chứng minh PQ // BC. Khi đó tứ giác DMQP là hình gì ? Vì sao ?

Có P đối xứng với H qua BC nên BC là trung trực của PH 

=> BC ⊥ PH tại D và D là trung điểm của PH  

Có điểm Q đối xứng với điểm H qua điểm M nên M là trung điểm của QH  

Xét ΔHPQ có D là trung điểm của PH; M là trung điểm của QH  

Nên MD là đường trung bình của ΔHPQ  

DM // PQ hay PQ // BC  

Tứ giác DMQP có DM // PQ  

Nên tứ giác DMQP là hình thang (DM // PQ)

Mà ∠PDM = 90⁰ (do BC ⊥ PH tại D)

Vậy tứ giác DMQP là hình thang vuông (DM // PQ)   

b) Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành. Tính số đo các góc ∠ACQ, ∠ABQ 

Xét tứ giác HCQB có HQ và BC cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đường.

=> Tứ giác HCQB là hình bình hành.

c) Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ΔABC. Chứng minh rằng điểm O cách đều 5 điểm A,B,P,Q,C.

 Gọi O' là trung điểm của AQ 

Có ΔABQ vuông tại B (d0 ∠ABQ = 90⁰ )

Có BO' là trung tuyến 

Nên BO' = AQ  

Chứng minh tương tự ta có CO' = AQ

Mà AO' = BO' = AQ (do O' là trung điểm của AQ )

=>  AO' = BO' = CO'

=> O' là giao điểm ba đường trung trực của ΔABC  

Mà O là giao điểm ba đường trung trực của ΔABC  

=> O' trùng với O.

Có PQ // BC; BC ⊥ AP => PQ ⊥ AP

=> ∠APQ = 90⁰  

=> ΔAPQ vuông tại P   

Có PO là trung tuyến 

Nên PO = AQ  

=> OA = OB = OC = OP = OQ(= AQ)

Vậy điểm O cách đều 5 điểm A,B,P,Q,C  .

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (x² + 4x + 1)² - 12(x + 2)² + 2093 .

Lời giải

Ta có P = (x² + 4x + 1)² - 12(x + 2)² + 2093 

=> P = (x² + 4x + 1)² - 12(x² + 4x + 4) + 2093

Đặt t = x² + 4x + 1

=> P = t² - 12(t + 3) + 2093

=> P = t² - 12t - 36 + 2093

=> P = (t² - 2.6.t + 36) + 2021

=> P = (t - 6)² + 2021 ≥ 2021  

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t - 6 = 0 =>

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2021 đạt được khi x = 1 hoặc x = 5.

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa kì 1 Hà Nội

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 5)

Câu 1.   

a) Thực hiện phép tính: (3x - 1)(2x + 7) - (12x³ + 8x² - 14x) : 2x

b) Không dùng máy tính bỏ túi, tính nhanh giá trị biểu thức:

B = (63² - 37²) : 26 + 63.37

Câu 2.  Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) xy² - 25x.          b) x(x - y) + 2x - 2y.       c) x³ - 3x² - 4x + 12.

Câu 3. Tìm x, biết:

a) (x + 2)² + (x -1)² + (x - 3)(x + 3) - 3x² = -8.    

b) 2021x(x - 2020) - x + 2020 = 0.

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại F, cắt AB tại K.

a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AF // CE. 

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC,EF và KI đồng quy tại một điểm.

Câu 5. a) Giữa hai điểm A và B có một chướng ngại vật. Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B, bạn Nam lấy các điểm C,D,E như trên hinh vẽ. Bạn đo đoạn thẳng DE để tình đoạn thẳng AB. Cách đo của bạn đúng hay sai. Nếu đúng, khoảng cách AB dài bao nhiêu. Biết DE = 7,5m  

b) Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau

a²(b - c) + b²(c - a) + c²(a - b) = 0

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 5

Câu 1. 

a) Thực hiện phép tính: (3x - 1)(2x + 7) - (12x³ + 8x² - 14x) : 2x   

b) Không dùng máy tính bỏ túi, tính nhanh giá trị biểu thức: 

B = (63² - 37²) : 26 + 63.37

Lời giải

a) Thực hiện phép tính: (3x - 1)(2x + 7) - (12x³ + 8x² - 14x) : 2x  

(3x - 1)(2x + 7) - (12x³ + 8x² - 14x) : 2x     

= 6x² + 19x - 7 - (6x² + 4x - 7)

= 6x² + 19x - 7 - 6x² - 4x + 7

= 15x

b) Không dùng máy tính bỏ túi, tính nhanh giá trị biểu thức:

 B = (63² - 37²) : 26 + 63.37 

 B = (63² - 37²) : 26 + 63.37  

= (63 - 37)(63² + 63.37 + 37²): 26 + 63.37

= 26(63² + 63.37 + 37²): 26 + 63.37

= 63² + 63.37 + 37² + 63.37

= 63² + 2.63.37 + 37²

= (63 + 37)² = 100²

= 10000

Câu 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

  a) xy² - 25x.          b) x(x - y) + 2x - 2y.       c) x³ - 3x² - 4x + 12.

Lời giải

a) xy² - 25x = x(y² - 25)  

= x(y - 5)(y + 5).

b) x(x - y) + 2x - 2y = x(x - y) + 2(x - y)

= (x - y)(x + 2)  

c) x³ - 3x² - 4x + 12 = x²(x - 3) - 4(x - 3).

= (x - 3)(x² - 4)

= (x - 3)(x - 2)(x + 2) 

Câu 3. Tìm x, biết:

a) (x + 2)² + (x -1)² + (x - 3)(x + 3) - 3x² = -8.    

b) 2021x(x - 2020) - x + 2020 = 0.

a) (x + 2)² + (x -1)² + (x - 3)(x + 3) - 3x² = -8. 

 ⇔ x² + 4x + 4 + x² - 2x + 1 + x² - 9 - 3x² = -8

 ⇔ (x² + x² + x² -3x²) + (4x - 2x) + (4 + 1 - 9) = -8

 ⇔ 2x - 4 = -8

 ⇔ 2x = -4

 ⇔ x = -2   

Vậy x = -2

b) 2021x(x - 2020) - x + 2020 = 0

⇔ 2021x(x - 2020) - (x - 2020) = 0 

⇔ (x - 2020)(2021 - x) = 0  

 

Vậy  

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, cắt CD tại I. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại F, cắt AB tại K.

a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh AF // CE. 

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC,EF và KI đồng quy tại một điểm.

Lời giải

                                         

a) Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?

Vì ABCD là hình bình hành => AB // DC => AK // IC      

Lại có:  

=> AICK là hình bình hành (tứ giác có hai cặp cạnh đối song song)

b) Chứng minh AF // CE.

Vì ABCD là hình bình hành => AB = CD   

Xét ΔABE và ΔCDF có:

∠AEB = ∠CFD (90⁰)  

∠ABE = ∠CDF (cặp góc so le trong)

AB = CD 

=> ΔABE = ΔCDF (ch-gn)

=> AE = CF (hai cạnh tương ứng)

Mà AE // CF => AECF là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

=> AF // CE  

c) Chứng minh rằng ba đường thẳng AC,EF và KI đồng quy tại một điểm.

Ta có tứ giác AKCI là hình bình hành (chứng minh trên)

Nên giả sử giao điểm hai đường chéo AC và KI  của hình bình hành AKCI là O  

=> O là trung điểm của AC          (1)   

Ta cũng có tứ giác AECF hình bình hành

Nên giả sử giao điểm hai đường chéo AC và EF của hình bình hành AECF là O'  

=> O' là trung điểm của AC       (2)

Từ (1) và (2) => O ≡ O'  

Vậy ba đường thẳng AC,EF và KI đồng quy tại một điểm. 

Câu 5. a) Giữa hai điểm A và B có một chướng ngại vật. Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B, bạn Nam lấy các điểm C,D,E như trên hinh vẽ. Bạn đo đoạn thẳng DE để tình đoạn thẳng AB. Cách đo của bạn đúng hay sai. Nếu đúng, khoảng cách AB dài bao nhiêu. Biết DE = 7,5m  

b) Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau

a²(b - c) + b²(c - a) + c²(a - b) = 0

Lời giải

a) Bạn Nam làm đúng vì  

Tam giác ABC có D,E lần lượt là trung điểm của CA,CB 

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC 

=> AB = 2.DE = 2.7,5 = 15(M) 

b) Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau

Ta có a²(b - c) + b²(c - a) + c²(a - b) = 0  

 ⇔ a²(b - c) + b²c - b²a + c²a - c²b = 0 

⇔ a²(b - c) + bc(b - c) - a(b² - c²) = 0

⇔ a²(b - c) + bc(b - c) - a(b - c)(b + c) = 0

⇔ (b - c)[a² + bc - ab - ac] = 0

⇔ (b - c)[a(a - c) - b(a - c)] = 0

⇔ (b - c)(a - c)(a - b) = 0

 

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa kì 1 Hà Nội

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 6)

Bài 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

a) x(x + 2) - 2x .                                     b) (2 + x)(2 - x) + x² .

c) x² (1 - x) + (x + 3)(x² - 3x + 9) .         d) (2x + y)² + 4x² - 4x(2x + y) .

Bài 2. (2,0 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 5xy - 10 .                     b) x² - 36 .

c) x³ - x²y + 4x - 4y .       d) x² + 12y - y² - 36 .

Bài 3. (2,0 điểm): Tìm x biết:

a) 3(x + 1) + 5x = 0 .               b) x² - 5x = 0 .

c) 4x² - 1 - (2x + 1) = 0.          d) x² - 7x + 10 = 0 .

Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A(∠A < 90⁰). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Tính MN biết BC = 7cm.

b) Chứng minh rằng tứ giác MNCB là hình thang cân.

c) Kẻ MI vuông góc với BN tại I,(I ∈ BN) và CK vuông góc với BN tại K,(K ∈ BN) 

Chứng minh rằng: CK = 2MI.

d) Kẻ BD vuông góc với MC tại D (D ∈ MC). Chứng minh rằng DK // BC.

Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 7 - x² - 3x.

 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 6

Bài 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

a) x(x + 2) - 2x .                                     b) (2 + x)(2 - x) + x² .

c) x² (1 - x) + (x + 3)(x² - 3x + 9) .         d) (2x + y)² + 4x² - 4x(2x + y)

Lời giải

a) x(x + 2) - 2x = x² + 2x - 2x = x² 

b) (2 + x)(2 - x) + x² = 4 - x² + x² = 4  

c) x² (1 - x) + (x + 3)(x² - 3x + 9) = x² - x³ + x³ + 27 = x³ + 27

d) (2x + y)² + 4x² - 4x(2x + y) = (2x + y - 2x)² = y²

Bài 2. (2,0 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 5xy - 10 .                     b) x² - 36 .

c) x³ - x²y + 4x - 4y .       d) x² + 12y - y² - 36 

Lời giải

a) 5xy - 10 = 5(xy - 2)

b) x² - 36 = (x + 6)(x - 6)

c) x³ - x²y + 4x - 4y = x²(x - y) + 4(x - y) = (x - y)(x² + 4)

d) x² + 12y - y² - 36 = x² - (y² - 12y + 36) = x² - (y - 6)² = (x + y - 6)(x - y + 6)

Bài 3. (2,0 điểm): Tìm   biết:

a) 3(x + 1) + 5x = 0 .               b) x² - 5x = 0 .

c) 4x² - 1 - (2x + 1) = 0.          d) x² - 7x + 10 = 0 .

Lời giải

a) Ta có: 3(x + 1) + 5x = 0 ⇔ 8x = -3 ⇔ x = .

b) x² - 5x 2;5= 0 ⇔ x(x - 5) = 0 ⇔  

Vậy x ∈  

c) 4x² - 1 - (2x + 1) = 0 ⇔ (2x + 1)(2x - 1) - (2x + 1) = 0 ⇔ (2x + 1)(2x - 2) = 0 

Vậy

d) x² + 12y - y² - 36 ⇔ x² - 2x - 5x + 10 = 0 ⇔ x(x - 2) - 5(x - 2) = 0

⇔ (x - 2)(x - 5) = 0

Vậy x ∈ .

Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A(∠A < 90⁰). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Tính MN biết BC = 7cm.

b) Chứng minh rằng tứ giác MNCB là hình thang cân.

c) Kẻ MI vuông góc với BN tại I,(I ∈ BN) và CK vuông góc với BN tại K,(K ∈ BN) 

Chứng minh rằng: CK = 2MI.

d) Kẻ BD vuông góc với MC tại D (D ∈ MC). Chứng minh rằng DK // BC.

Lời giải

a) Tính MN biết BC = 7cm.

Xét ΔABC có: 

 

=> MN là đường trung bình của tam giác

=> MN = BC = .7 = 3,5(cm).          

b) Chứng minh rằng tứ giác MNCB là hình thang cân.

Vì MN là đường trung bình của tam giác 

=> MN // BC => BMNC là hình thang .

 Mà ∠MBC = ∠NCB ( ΔABC cân tại A ) => BMNC là hình thang cân .

c) Kẻ MI vuông góc với BN tại I,(I ∈ BN) và CK vuông góc với BN tại K,(K ∈ BN) 

Chứng minh rằng: CK = 2MI.

Kẻ AH vuông góc với BN.

Xét ΔABH  có:  

=> MI là đường trung bình của tam giác .

=> MI = AH.          

Xét ΔAHN và ΔCKN có:    

ΔAHN = ΔCKN (cạnh huyền – góc nhọn).

=> AH = CK ( cặp cạnh tương ứng)

=> MI = CK (đpcm)            

d) Kẻ BD vuông góc với MC tại D (D ∈ MC). Chứng minh rằng DK // BC.

Gọi O là giao điểm của BN và CM. Suy ra O là trọng tâm của ΔABC 

Kéo dài AO cắt BC tại P (P ∈ BC) . 

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AP đồng thời là đường trung trực của BC => BC ⊥ AP.

 Vì O ∈ AP => OB = OC => ΔOBD = ΔOCK (cạnh huyền – góc nhọn).

=> OD = OK (cặp cạnh tương ứng).

Suy ra ΔODK cân tại O. 

Vì tam giác OBC cân tại O nên đường trung tuyến OP đồng thời là đường phân giác của ∠BOC suy ra OA là phân giác của ∠DOK.

Mà ΔODK cân tại O nên OA là cũng là đường cao

=> OA ⊥ DK => AP ⊥ DK mà BC ⊥ AP.

Suy ra DK // BC (đpcm).

Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 7 - x² - 3x.

Lời giải

Ta có

Dấu bằng xảy ra  

Vậy giá trị lớn nhất của

                                 

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa kì 1 Hà Nội

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 7)

Câu 1. (1,5 điểm). Cho hai biểu thức A = x² - x + 5 và B = (x - 1)(x + 2) - x(x - 2) - 3x

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 2   

b) Chứng tỏ rằng B = -2 với mọi giá trị của biến x.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = A + B  

Câu 2. (2,0 điểm). Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x² - 8x                                     b) x² - xy - 6x + 6y.

c) x² - 6x + 9 - y².                        d) x³ + y³ + 2x + 2y 

Câu 3. (1,5 điểm)  Tìm các số thực x, biết : 

a) (2x - 3)² - 49 = 0.            b) 2x(x - 5) - 7(5 - x) = 0             c) x² - 3x - 10 = 0 

Câu 4. (1,0 điểm) Cho hình vẽ bên, biết AB // CD, AB = 5cm, CD = 7cm. Tính EG .

                                         

Câu 5. (3,5 điểm) Cho ΔABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED // AB(D ∈ BC);EF // BC(F ∈ AB)  

a) Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

b) Gọi H là điểm đối xứng của D qua F. Chứng minh rằng HB // AD.

c) Gọi I là trung điểm của HB; K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh rằng I,K,E thẳng hàng.

d) ΔABC cần có thêm điều kiện gì để .

Câu 6. (0,5 điểm) Tìm các cặp số (x, y) biết : y⁴ + y² + x² - 8y - 4x + 2xy + 7 = 0 

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 7

Câu 1. (1,5 điểm). Cho hai biểu thức A = x² - x + 5 và B = (x - 1)(x + 2) - x(x - 2) - 3x

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 2   

b) Chứng tỏ rằng B = -2 với mọi giá trị của biến x.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = A + B  

Lời giải

a) Thay x = 2 vào biểu thức A

Tính được A = 2² - 2 + 5 = 7  

b) B = (x - 1)(x + 2) - x(x - 2) - 3x

B= -2 

c)  Ta có C = x² - x + 5 - 2 = x² - x + 3   

   

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là

Câu 2. (2,0 điểm). Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x² - 8x                                     b) x² - xy - 6x + 6y.

c) x² - 6x + 9 - y².                        d) x³ + y³ + 2x + 2y

Lời giải

a) x² - 8x = x(x - 8)  

b) x² - xy - 6x + 6y = (x² - xy) - (6x - 6y) = x(x - y) - 6(x - y) = (x - 6)(x - y)

c) x² - 6x + 9 - y² = (x² - 6x + 9) - y² = (x - 3)² - y² = (x - 3 - y)(x - 3 + y)

d) x³ + y³ + 2x + 2y = (x³ + y³) + (2x + 2y) = (x + y)(x² - xy + y²) + 2(x + y) = (x + y)(x² - xy + y² + 2)

Câu 3. (1,5 điểm)  Tìm các số thực x, biết : 

a) (2x - 3)² - 49 = 0.            b) 2x(x - 5) - 7(5 - x) = 0             c) x² - 3x - 10 = 0

Lời giải

a) (2x - 3)² - 49 = 0 ⇔ (2x - 3)² - 7² = 0

⇔ (2x - 3 - 7)(2x - 3 + 7) = 0

⇔ (2x - 10)(2x + 4) = 0 

 

Vậy x = 5; x = -2 

b) 2x(x - 5) - 7(5 - x) = 0 ⇔ 2x(x - 5) + 7(x - 5) = 0  

⇔ (2x + 7)(x - 5) = 0

   

Vậy x = 5;  

c) x² - 3x - 10 = 0 ⇔ x² - 5x + 2x - 10 = 0

⇔ x(x - 5) + 2(x - 5) = 0

⇔ (x + 2)(x - 5) = 0

Vậy x = 5; x = -2 

Câu 4. (1,0 điểm) Cho hình vẽ bên, biết AB // CD, AB = 5cm, CD = 7cm. Tính EG .

                                         

Lời giải

Ta có AB // CD (gt) nên tứ giác ABCD là hình thang.

Mà E,G lần lượt là trung điểm của AD,BC (gt)

Suy ra EG là đường trung bình của hình thang ABCD.

Câu 5. (3,5 điểm) Cho ΔABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED // AB(D ∈ BC);EF // BC(F ∈ AB)  

a) Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

b) Gọi H là điểm đối xứng của D qua F. Chứng minh rằng HB // AD.

c) Gọi I là trung điểm của HB; K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh rằng I,K,E thẳng hàng.

d) ΔABC cần có thêm điều kiện gì để .

Lời giải

a) + Xét tứ giác BDEF có: EF // BD (vì EF // BC - gt)

  ED // BF (vì ED // AB - gt)

=> BDEF là hình bình hành (DHNB).

+ Xét ΔABC có: E là trung điểm của AC và ED // BF 

Suy ra D là trung điểm của đoạn thẳng BC (định lý đường trung bình trong tam giác).

b)    

Vì AE = EC =  

Và EF // BC

=> AF = FB =  

Ta có : AB ∩ HD = , mà F là trung điểm của AB và HD

=> tứ giác AHBD là hình bình hành => HB // AD (đpcm).

c)            

Ta có: FD là đường trung bình của ΔABC 

 

=> tứ giác FDEA là hình bình hành.

FD ∩ EF = (gt) => K là trung điểm của AD.

Và I là trung điểm của HB.

=> IK là đường trung bình của hình bình hành AHBD.

=> IK // BD (1)

Tương tự: I là trung điểm của HB 

E là trung điểm của AC

=> IE là đường trung bình của hình thang AHBC  

=> IE // BC => IE // BD (2)

Từ (1) và (2) => I, K , E thẳng hàng. (dpcm)

d) Xét hình bình hành AHBD có: AB ∩ HD =  

 

Và  

Để  

Hình bình hành AHBD có hai đường chéo HD và AB bằng nhau

=> AHBD là hình chữ nhật => AD ⊥ BD => AD là đường cao của ΔABC

Mặt khác, D là trung điểm của BC (theo cm câu a)

=> AD là đường trung tuyến của ΔABC

ΔABC có AD vừa là đường cao, vừa là trung tuyến => ΔABC cân tại A.

Vậy, để  thì ΔABC phải cân tại A

Câu 6. (0,5 điểm) Tìm các cặp số (x,y) biết : y⁴ + y² + x² - 8y - 4x + 2xy + 7 = 0

Lời giải

y⁴ + y² + x² - 8y - 4x + 2xy + 7 = 0

⇔ y⁴ - 2y² + 1 + 2(y² - 2y + 1) + x² + y² + 4 + 2xy - 4x - 4y = 0 

⇔ (y² -1)² + 2(y - 1)² + (x + y - 2)² = 0

NX: (y² -1)² ≥ 0; 2(y - 1)² ≥ 0;(x + y - 2)² ≥ 0 

Dấu “=” xảy ra

Vậy x = 1 và y = 1 

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa kì 1 Hà Nội

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 8)

Câu 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) A(x) = x² - 3x + 2                         b) B(x,y) = x² + 4y² - 4xy - 4

Câu 2. Tìm x sao cho (x - 2)² + (2x + 1)³ - 9(x + 1)³ = -16.

Câu 3. Cho a, b , c. là các số thực thỏa mãn a² + b² + c² = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b = c 

Câu 4. Cho ΔABC vuông ở A,(AB < AC) đường cao AH, đường trung tuyến AM. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Trên tia đối của tia EH lấy điểm P sao cho EP = EH, trên tia đối của tia FH lấy điểm Q sao cho FQ = FH.

a) Chứng minh ba điểm P, A , Q . thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng tứ giác BPQC là hình thang vuông và BP + QC = BC.

c) Chứng minh AM vuông góc với EF  

d) Gọi (d) là đường thẳng thay đổi, đi qua A, nhưng không cắt cạnh BC của tam giác ABC. Gọi X, Y lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C trên (d). Tìm vị trí của (d) để chu vi tứ giác BXYC lớn nhất.

Câu 5.

 a) ( Dành cho các lớp 8B, 8C, 8D, 8E )

Cho a, b , c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn a³ + b³ + c³ = 3abc. Tính giá trị của biểu thức M = (a + b)(b + c)(c + a) + abc 

b) ( Dành riêng cho lớp 8A)    

Với a, b là các số thực thỏa mãn a³ + b³ 3abc = -18. Chứng minh rằng -9 < a + b < -1 

 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 8

Câu 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) A(x) = x² - 3x + 2                         b) B(x,y) = x² + 4y² - 4xy - 4

Lời giải

a) A(x) = x² - 3x + 2 

= x² - x - 2x + 2 

= x(x - 1) - 2(x - 1)

= (x - 1)(x - 2) 

b) B(x,y) = x² + 4y² - 4xy - 4 

= (x² - 4xy + 4y²) - 4

= (x - 2y)² - 2²

= (x - 2y - 2)(x - 2y + 2)  

Câu 2. Tìm x sao cho (x - 2)² + (2x + 1)³ - 9(x + 1)³ = -16.

Lời giải

Ta có (x - 2)² + (2x + 1)³ - 9(x + 1)³ = -16 

 ⇔ (x - 2)³ + (2x + 1)³ - (x + 1)³ - 8(x + 1)³ = -16

 ⇔ (x - 2)³ - (x + 1)³ + (2x + 1)³ - 8(x + 1)³ = -16

 ⇔ [x -2 - (x + 1)][(x - 2)² + (x - 2)(x + 1) + (x + 1)²] + (2x + 1)³ - [2(x + 1)]³ = -16

 ⇔ (x - 2 - x - 1)(3x² - 3x + 3) + [2x + 1 - 2(x + 1)][(2x + 1)² + (2x + 1)(2x + 2) + (2x + 2)²] = -16

 ⇔ -3(3x² - 3x + 3) + (-1)(4x² + 4x + 1 + 4x² + 6x + 2 + 4x² + 8x + 4) + 16 = 0

 ⇔ -9x² + 9x - 9 - (12x² + 18x + 7) + 16 = 0

 ⇔ -9x² + 9x - 9 - 12x² - 18x - 7 + 16 = 0

 ⇔ -21x² - 9x = 0

 ⇔ -3x.(7x + 3) = 0

 

Vậy

Câu 3. Cho a, b , c. là các số thực thỏa mãn a² + b² + c² = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b = c  

Lời giải

a² + b² + c² = ab + bc + ca 

⇔ 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ca

⇔ 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0

⇔ a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a² = 0

⇔ (a - b)² + (b - c)² (c - a)²= 0 

Mà (a - b)² ≥ 0; (b - c)² ≥ 0; (c - a)² ≥ 0 với mọi số a,b,c.

Suy ra (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

 (điều phải chứng minh).

Câu 4. Cho ΔABC vuông ở A,(AB < AC) đường cao AH, đường trung tuyến AM. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Trên tia đối của tia EH lấy điểm P sao cho EP = EH, trên tia đối của tia FH lấy điểm Q sao cho FQ = FH.

a) Chứng minh ba điểm P, A , Q . thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng tứ giác BPQC là hình thang vuông và BP + QC = BC.

c) Chứng minh AM vuông góc với EF  

d) Gọi (d) là đường thẳng thay đổi, đi qua A, nhưng không cắt cạnh BC của tam giác ABC. Gọi X, Y lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C trên (d). Tìm vị trí của (d) để chu vi tứ giác BXYC lớn nhất.

Lời giải

a) Ta có P đối xứng với H qua E  

=> E là trung điểm của HP 

mà AB vuông góc với HP 

=> AB là trung trực của HP 

=> H đối xứng với P qua AB 

=> AP = AH và góc ∠HAE = ∠PAE 

Vì Q đối xứng với H qua F

=> F là trung điểm của QH 

mà AC vuông góc với QF

=> AC là trung trực của QF 

=> H đối xứng với Q qua AC 

=> AQ = AH và ∠HAF = ∠QAF 

=> ∠QAP = 2(∠HAE + ∠HAF) = 2∠BAC = 180⁰  

=> Ba điểm P, A , Q thẳng hàng.

b) Xét ΔAQC và ΔAHC có 

AQ = AH (cmt)

∠HAF = ∠QAF (cmt)

AC chung

ΔAQC = ΔAHC (c.g.c)

=> CQ = CH; ∠CQA = ∠CHA = 90⁰    

Chứng minh tương tự ta có : BP = BH; ∠BPA = ∠BHA = 90⁰  

=> BP + QC = BH + CH = BC  

Xét tứ giác BPQC có BP ⊥ PQ; CQ ⊥ PQ => BP // CQ. 

Mà ∠CQA = 90⁰  

=> BPQC là hình thang vuông.

c) Xét ΔQHP có EF là đường trung bình => EF // PQ   

Ta có :

AH = AQ      (ΔQHP = ΔAHC)

AH = AP      (ΔAPB = ΔAHB)

=> AP = AQ 

Mà BM = MC

=> Hình thang BCQP có AM là đường trung bình => AM // CQ

PQ ⊥ CQ => PQ ⊥ AM => EF ⊥ AM 

d) Ta có: (BX + AX)² ≤ 2(BX² + AX)² = 2AB² 

=> BX + AX ≤ AB√2

(CY + AY)² ≤ 2(CY² + AY²) = 2AC²

=> CY + AY ≤ AC√2 

Chu vi hình thang P_BXYC  

= BX + XY + CY + BC

= BX + AX + AY + CY + BC ≤ AB√2 + AC√2 + BC

P_BXYCmax = AB√2 + AC√2 + BC 

 ⇔ d là phân giác góc ngoài tại đỉnh A hay d vuông góc với phân giác ∠BAC.

Câu 5.

 a) ( Dành cho các lớp 8B, 8C, 8D, 8E )

Cho a, b , c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn a³ + b³ + c³ = 3abc. Tính giá trị của biểu thức M = (a + b)(b + c)(c + a) + abc 

b) ( Dành riêng cho lớp 8A)    

Với a, b là các số thực thỏa mãn a³ + b³ 3abc = -18. Chứng minh rằng -9 < a + b < -1

Lời giải

a) Ta có: a³ + b³ + c³ = 3abc 

=> (a³ + b³) + c³ - 3abc = 0 

=> a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + c³ - 3abc - 3a²b - 3ab² = 0

=> (a + b)³ + c³ - 3abc(a + b + c) = 0

=> (a + b + c)[(a + b)² - (a + b)c + c²] - 3ab(a + b + c) = 0

=> (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = 0

 

 

TH1: a + b + c = 0  

=> a + b = -c; b + c = -a; c + a = -b . 

Khi đó M = (-c)(-a)(-b) + abc = -abc + abc = 0.

TH2: a = b = c  .

=> M = 2a.2b.2c + abc = 8abc + abc = 9abc

b) Ta có

a³ + b³ - 3ab = -18 

=> a³ + b³ + 1 - 3ab = -17

=> (a + b)³ - 3ab(a + b) + 1 - 3ab = -17

=> (a + b + 1)[(a + b)² - (a + b) + 1] - 3ab(a + b + 1) = -17

=> (a + b + 1)(a² + b² + 1 - ab - a - b) = -17 < 0

=> (a + b + 1)(a² + b² + 1 - ab - a - b) < 0  

mà a² + b² + 1 - ab - a - b = [(a - b)² + (a - 1)² + (b - 1)²] > 0 (dấu “=” không xảy ra vì theo giả thiết a,b không thể đồng thời bằng 1)

=> a + b + 1 < 0

=> a + b < -1 

Ta có: (a + b)³ - 3ab(a + b + 1) = -18 

(a - b)² ≥ 0 => 3ab ≤ (a + b)²   

=> 3ab(a + b + 1) ≥ (a + b)²(a + b + 1) ( vì a + b + 1 < 0 )

Đặt a + b = t

=> -18 ≤ t³ - t²(t + 1) 

=> t³ - t² + 18 ≥ 0  

=> (t³ - 3t² + 72) ≥ 0  

=> t³ - 3t² + 72 ≥ 0  

=> t³ ≥ -72 + 3t² ≥ -72

=> t³ ≥ -72 

=> t > -5 > -9

=> a + b > -9 

Vậy -9 ?< a + b < -1.

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa kì 1 Hà Nội

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 9)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Đa thức 4x(2y - z) + 7y(z - 2y) được phân tích thành nhân tử là:

A. (2y - z)(4x - 7y).                  B. (2y - z)(4x + 7y) 

C. (2y + z)(4x - 7y)                  D. (2y + z)(4x + 7y) 

Câu 2. Tính  ta được:

Câu 3. Với giá trị nào của a thì biểu thức 16x² - 24x + a được viết dưới dạng bình phương của một hiệu?

A. a = 1.                B. a = 9                 C. a = 16.              D. a = 25.

Câu 4. Kết qủa của phép nhân (x + 1)(x² - x + 1) là:

A. x³ - 1 .             B. x³ + 1.                C. 1 - x³.              D. 2x³ - 1.

Câu 5. Giá trị của biểu thức 10x²y³ : (-2xy²), tại x = 1, y = -1 là 

A. 5.                    B. -5.                       C. -10.                 D. 10.

Câu 6. Một tứ giác có nhiều nhất là: 

A. 4 góc vuông.        B. 3 góc vuông.           C. 2 góc vuông.           D. 1 góc vuông.

Câu 7. Một hình thang cân là hình thang có: 

A. Hai đáy bằng nhau.                      B. Hai cạnh bên bằng nhau.    

C. Hai đường chéo bằng nhau.        D. Hai cạnh bên song song.

Câu 8. Một hình thang có đáy lớn dài 6 cm,đáy nhỏ dài 4 cm. Độ dài đường trung bình của hình thang đó là:

A. 10 cm.    B. 5 cm.    C. √10 cm.    D. √5 cm.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1. (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 3x² - x               b) xy + y² - x - y              c) x² - y² + 14x + 49 

Bài 2. (1,5 điểm) . Cho biểu thức : A = (2x - 1)(4x² + 2x + 1) - 7(x³ + 1) 

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A tại x =  

Bài 3. 1,5 điểm) Tìm x biết: 

a) x² + 3x =  0                              b) x(2x - 1) + 4x - 2 = 0         

c) (x² + 2x)² - 2x² - 4x = 3 

Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác, M là trung điểm của BC. Trên tia HM lấy điểm D sao cho MH = MD.

a) Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng các tam giác ABD,ACD vuông.

c) Gọi O là trung điểm của AD. Chứng minh rằng OA = OB = OC = OD.

Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P(x) = -x² + 13x + 2012.

 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 9

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

BẢNG ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Đa thức 4x(2y - z) + 7y(z - 2y) được phân tích thành nhân tử là:

A. (2y - z)(4x - 7y).                  B. (2y - z)(4x + 7y) 

C. (2y + z)(4x - 7y)                  D. (2y + z)(4x + 7y)

Lời giải

Chọn A

4x(2y - z) + 7y(z - 2y) = 4x(2y - z) - 7y(2y - z) = (2y - z)(4x - 7y)

Câu 2. Tính  ta được:

Lời giải

Chọn D

Câu 3. Với giá trị nào của a thì biểu thức 16x² - 24x + a được viết dưới dạng bình phương của một hiệu?

A. a = 1.                B. a = 9                 C. a = 16.              D. a = 25.

Lời giải

Chọn B

a = 9 thì 16x² - 24x + 9 = (4x)² - 2.4x.3 + 3² = (4x - 3)².

Câu 4. Kết qủa của phép nhân (x + 1)(x² - x + 1) là:

A. x³ - 1 .             B. x³ + 1.                C. 1 - x³.              D. 2x³ - 1.

Lời giải

Chọn B

(x + 1)(x² - x + 1) = x³ + 1³ = x³ + 1

Câu 5. Giá trị của biểu thức 10x²y³ : (-2xy²), tại x = 1, y = -1 là 

A. 5.                    B. -5.                       C. -10.                 D. 10.

Lời giải

Chọn A

10x²y³ : (-2xy²) = 10.1².(-1)³ : (-2).1.(-1)² = (-10) : (-2) = 5

Câu 6. Một tứ giác có nhiều nhất là: 

A. 4 góc vuông.        B. 3 góc vuông.           C. 2 góc vuông.           D. 1 góc vuông.

Lời giải

Chọn A

Tứ giác có tổng số đo 4 góc bằng 360⁰ mà 90⁰.4 = 360⁰ => có nhiều nhất 4 góc vuông

Câu 7. Một hình thang cân là hình thang có: 

A. Hai đáy bằng nhau.                      B. Hai cạnh bên bằng nhau.    

C. Hai đường chéo bằng nhau.        D. Hai cạnh bên song song.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào dấu hiệu nhận biết về hình thang cân thì: hình thang cân là hình thang có hai đường chéo bằng nhau

Câu 8. Một hình thang có đáy lớn dài 6 cm,đáy nhỏ dài 4 cm. Độ dài đường trung bình của hình thang đó là:

A. 10 cm.          B. 5 cm.           C. √10 cm.           D. √5 cm.

Lời giải

Chọn B

Độ dài đường trung bình của hình thang là:

(Đáy lớn + đáy nhỏ) : 2 = (6 + 4) : 2 = 5

II. PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1. (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) 3x² - x               b) xy + y² - x - y              c) x² - y² + 14x + 49

Lời giải

a) 3x² - x = x(3x - 1) 

b) xy + y² - x - y = (xy + y²) - (x + y) 

= y(x + y) - (x + y)

= (x + y)(y - 1) 

c) x² - y² + 14x + 49 = (x² + 14x + 49) - y²

= (x + 7)² - y² 

= (x + 7 - y)(x + 7 + y).

Bài 2. (1,5 điểm) . Cho biểu thức : A = (2x - 1)(4x² + 2x + 1) - 7(x³ + 1) 

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A tại x =

Lời giải

a) A = 8x³ + 4x² + 2x - 4x² - 2x - 1 - 7x³ - 7

= (8x³ - 7x³) + (4x² - 4x²) + (2x - 2x) + (-1 - 7)  

= x³ - 8

b) Với x = ta có  

Vậy với x = thì

Bài 3. 1,5 điểm) Tìm x biết: 

a) x² + 3x =  0                           b) x(2x - 1) + 4x - 2 = 0         

c) (x² + 2x)² - 2x² - 4x = 3

Lời giải

a) Ta có: x² + 3x = 0 ⇔ x(x + 3) = 0 ⇔

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-3;0}.

b) Ta có: x(2x - 1) + 4x - 2 = 0 ⇔ x(2x - 1) + 2(2x - 1) = 0

⇔ (x + 2)(2x - 1) = 0 ⇔ .

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

c) Ta có: (x² + 2x)² - 2x² - 4x = 3 ⇔ (x² + 2x)² - 2(x² + 2x) - 3 = 0 (1)

Đặt x² + 2x = 0, phương trình (1) trở thành: 

a² - 2a - 3 = 0 ⇔ a² + a - 3a - 3 = 0 

⇔ a(a + 1) - 3(a + 1) = 0 ⇔ (a - 3)(a + 1) = 0 ⇔  

Hay

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-1;1;-3}.

Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác, M là trung điểm của BC. Trên tia HM lấy điểm D sao cho MH = MD.

a) Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng các tam giác ABD,ACD vuông.

c) Gọi O là trung điểm của AD. Chứng minh rằng OA = OB = OC = OD.

Lời giải

 

a) Xét tứ giác BHCD, ta có:

BM = MC ( M là trung điểm của BC).

HM = MD ( M là trung điểm của HD).

=> tứ giác BHCD là hình bình hành.

b) Ta có H là trực tâm của tam giác ABC.

=> CH ⊥ AB   .

Mà CH // BD.

=> AB ⊥ BD.

=> ΔABD vuông tại B.

Lại có BH // DC (định nghĩa hình bình hành)

Mà DC ⊥ AC.

=> ΔADC vuông tại C.

c) Trong tam giác vuông ABD có BO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD.

OB = AD = OA = OD         (1)

Trong tam giác vuông ACD có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD          

OC = AD = OA = OD    (2)  

Từ (1) và (2) suy ra OC = OB = OA = OD                                     

Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P(x) = -x² + 13x + 2012.

Lời giải

Ta có:

Vì

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất là

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề thi Giữa kì 1 Hà Nội

Năm học 2024 - 2025

Bài thi môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

(Đề số 10)

I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm) Hãy chọn chữ cái đúng trước câu trả lời đúng

Câu 1: Thực hiện phép tính x²(x² - y²) + (x² + y²)y²  được kết quả là:

A. x⁴ - y⁴              B. 2x²y²                C. x⁴ + y⁴             D. x² + y²  

Câu 2: Kết quả của phép tính 3x²y(2x²y² - 5xy) là:

A. 6x⁴y³ - 15x²y          B. 6x⁴y³ - 15x³y²           C. 6x⁴y³ - 15x²y³             D. 6x⁴y³ - 15x²y⁴ 

Câu 3: Giá trị của biểu thức x³ - 6x² + 12x - 8 tại x = -2 là:

A. -64           B. 0           C. 64            D. 256

Câu 4: Rút gọn biểu thức (a + b)² - 4ab ta được kết quả là:

A. (a + b)²               B. (a - b)²              C. a² - b²            D. b² - a² 

Câu 5: Để biểu thức 9x² + 30x + a là bình phương của một tổng thì giá trị của a phải là:

A. 9                       B. 36                        C. 25                          D. 225

Câu 6: Phân tích đa thức 5x²(x - 2y) - 15x(x - 2y) thành nhân tử ta được:

A. 5x(x - 2y)                               B. x(x - 2y)(x - 3)

C. 5x(x - 2y)(x - 3)                      D. 5(x - 2y)(x - 3)   

Câu 7: Giá trị của x để biểu thức x² - 5x có giá trị bằng 0 là:

A. x = 0               B. x = 5                C. x = -5               D. x = 0;x = 5  

Câu 8: Với mọi giá trị của biến số giá trị của biểu thức x² - 20x + 101 là một số

A. Dương            B. Âm                   C. Không dương          D. Không âm

Câu 9: Tứ giác ABCD có ∠A = 120⁰; ∠B = 80⁰; ∠C = 100⁰ thì số đo ∠D là:

A. 150⁰               B. 90⁰                    C. 40⁰                          D. 60⁰  

Câu 10: Hình thang cân là hình thang có:

A. Hai cạnh bên bằng nhau                            B. Hai cạnh đáy bằng nhau

C. Hai góc kề một cạnh bên bằng nhau         D. Hai góc kề một đáy bằng nhau

Câu 11: Cho hình bình hành ABCD biết ∠A = 110⁰ khi đó các góc ∠B, ∠C, ∠D của hình bình hành đó lần lượt là:

A. 70⁰, 110⁰, 70⁰                          B. 110⁰, 70⁰ ,70⁰  

C. 70⁰, 70⁰, 110⁰                         D. 70⁰, 110⁰, 110⁰ 

Câu 12: ΔABC có M là trung điểm của AB,N là trung điểm của AC. Vẽ ME và NF cùng vuông góc với BC ( E,F thuộc BC). Khẳng định nào là sai:

A. MN = EF                  B. MN = ME                       C. MN // EF                D. ME = NF 

II. TỰ LUẬN (7 điểm)

Bài 1: (1 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A = (x - y)² + (x + y)² - 2(x + y)(x - y) - 4(y² - 1)

b) Tính giá trị của biểu thức B = x³ - 3x² + 3x + 1019 tại x = 11.

Bài 2: (1,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x³ - 4x² + 4x             b) x² - y² - 6y - 9            c) 3x² + x - 4 

Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x biết

a) x(x - 3) - 2x + 6                   b) 4x² - 25 + (2x + 5)² = 0 

Bài 4: (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm I trên cạnh AB, K trên cạnh CD, sao cho AI = CK.

a) Chứng minh AICK là hình bình hành.

b) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại P, cắt AB tại Q. Chứng minh C là trung điểm của PQ.

c) Chứng minh AC, BP, DQ đồng quy.

Bài 5: (0,5 điểm)

a) Dành cho lớp CLC

Cho biểu thức C = (a + b)(b + c)(a + c) + abc  

Chứng tỏ rằng nếu các số a, b, c nguyên và a + b + a ⋮ 10 thì C - 5abc ⋮ 10 

b. Dành cho lớp Tiếng Anh học thuật

A parallelogram ABCD has AB = 8cm and BC = 5cm. Caculate the perimeter of parallelogram ABCD.

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 10

I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm) Hãy chọn chữ cái đúng trước câu trả lời đúng

Câu 1: Thực hiện phép tính x²(x² - y²) + (x² + y²)y²  được kết quả là:

A. x⁴ - y⁴              B. 2x²y²                C. x⁴ + y⁴             D. x² + y²  

Câu 2: Kết quả của phép tính 3x²y(2x²y² - 5xy) là:

A. 6x⁴y³ - 15x²y          B. 6x⁴y³ - 15x³y²           C. 6x⁴y³ - 15x²y³             D. 6x⁴y³ - 15x²y⁴ 

Câu 3: Giá trị của biểu thức x³ - 6x² + 12x - 8 tại x = -2 là:

A. -64           B. 0           C. 64            D. 256

Câu 4: Rút gọn biểu thức (a + b)² - 4ab ta được kết quả là:

A. (a + b)²               B. (a - b)²              C. a² - b²            D. b² - a² 

Câu 5: Để biểu thức 9x² + 30x + a là bình phương của một tổng thì giá trị của a phải là:

A. 9                       B. 36                        C. 25                          D. 225

Câu 6: Phân tích đa thức 5x²(x - 2y) - 15x(x - 2y) thành nhân tử ta được:

A. 5x(x - 2y)                               B. x(x - 2y)(x - 3)

C. 5x(x - 2y)(x - 3)                      D. 5(x - 2y)(x - 3)   

Câu 7: Giá trị của x để biểu thức x² - 5x có giá trị bằng 0 là:

A. x = 0               B. x = 5                C. x = -5               D. x = 0;x = 5  

Câu 8: Với mọi giá trị của biến số giá trị của biểu thức x² - 20x + 101 là một số

A. Dương            B. Âm                   C. Không dương          D. Không âm

Câu 9: Tứ giác ABCD có ∠A = 120⁰; ∠B = 80⁰; ∠C = 100⁰ thì số đo ∠D là:

A. 150⁰               B. 90⁰                    C. 40⁰                          D. 60⁰  

Câu 10: Hình thang cân là hình thang có:

A. Hai cạnh bên bằng nhau                            B. Hai cạnh đáy bằng nhau

C. Hai góc kề một cạnh bên bằng nhau         D. Hai góc kề một đáy bằng nhau

Câu 11: Cho hình bình hành ABCD biết ∠A = 110⁰ khi đó các góc ∠B, ∠C, ∠D của hình bình hành đó lần lượt là:

A. 70⁰, 110⁰, 70⁰                          B. 110⁰, 70⁰ ,70⁰  

C. 70⁰, 70⁰, 110⁰                         D. 70⁰, 110⁰, 110⁰ 

Câu 12: ΔABC có M là trung điểm của AB,N là trung điểm của AC. Vẽ ME và NF cùng vuông góc với BC ( E,F thuộc BC). Khẳng định nào là sai:

A. MN = EF                  B. MN = ME                       C. MN // EF                D. ME = NF

II. TỰ LUẬN (7 điểm)

Bài 1: (1 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A = (x - y)² + (x + y)² - 2(x + y)(x - y) - 4(y² - 1)

b) Tính giá trị của biểu thức B = x³ - 3x² + 3x + 1019 tại x = 11.

Lời giải

a) A = (x - y)² + (x + y)² - 2(x + y)(x - y) - 4(y² - 1)

= [(x - y) - (x + y)]² - 4y² + 4

= 4y² - 4y² + 4 = 4

b) B = x³ - 3x² + 3x + 1019 = x³ - 3x² + 3x - 1 + 1020 = (x - 1)³ + 1020 

Thay x = 11 vào B ta được B = (11 - 1)³ + 1020 = 2020 

Bài 2: (1,5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x³ - 4x² + 4x             b) x² - y² - 6y - 9            c) 3x² + x - 4

Lời giải

a) x³ - 4x² + 4x = x(x² - 4x + 4) = x(x - 2)²  

b) x² - y² - 6y - 9 = x² - (y² + 6y + 9) = x² - (y + 3)² = (x - y - 3)(x + y + 3)

c) 3x² + x - 4 = 3x² - 3x + 4x - 4 = 3x(x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(3x + 4) 

Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x biết

a) x(x - 3) - 2x + 6                   b) 4x² - 25 + (2x + 5)² = 0

Lời giải

a) x(x - 3) - 2x + 6 

⇔ x(x - 3) - 2(x - 3) = 0 

⇔ (x - 3)(x - 2) = 0

⇔  

b) 4x² - 25 + (2x + 5)² = 0

⇔ (2x + 5)(2x - 5) + (2x + 5)² = 0

⇔ (2x + 5)(2x - 5 + 2x + 5) = 0

⇔ 4x(2x + 5) = 0

 

Bài 4: (2,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm I trên cạnh AB, K trên cạnh CD, sao cho AI = CK.

a) Chứng minh AICK là hình bình hành.

b) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại P, cắt AB tại Q. Chứng minh C là trung điểm của PQ.

c) Chứng minh AC, BP, DQ đồng quy.

Lời giải

 

a) Chứng minh AICK là hình bình hành.

Ta có ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.

=> AI // CK (AB // CD )

Mà AI = CK (giả thiết)

Suy ra AICK là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của ΔABC.

=> MN // BC, MN = BC (tính chất đường trung bình của tam giác).

=> MI // BH.

Xét ΔABH có MI đi qua trung điểm của cạnh AB và MI // BH.

=> MI đi qua trung điểm cạnh AH .

Suy ra I là trung điểm của AH .

b) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại P, cắt AB tại Q. Chứng minh C là trung điểm của PQ.

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét ΔACP có OD đi qua trung điểm của cạnh AC và OD // CP (CP // BD ).

=> OD đi qua trung điểm cạnh AP (định lý 1 về đường trung bình của tam giác).

=> D là trung điểm của AP.

=> OD là đường trung bình của ΔACP.

=> OD = CP(tính chất đường trung bình của tam giác).

Tương tự ta chứng minh được OB = CQ.

Mặt khác OB = OD 

=> CP = CQ

Mà ba điểm P, C , Q thẳng hàng (giả thiết)

Suy ra C là trung điểm của PQ .

c) Chứng minh AC, BP, DQ đồng quy.

 

Xét ΔAPQ có D, B, C lần lượt là trung điểm của AP, AQ, PQ.

Nên AC, BP, DQ là ba trung tuyến của ΔAPQ.

Do đó AC, BP, DQ đồng quy.

Bài 5: (0,5 điểm)

a) Dành cho lớp CLC

Cho biểu thức C = (a + b)(b + c)(a + c) + abc  

Chứng tỏ rằng nếu các số a, b, c nguyên và a + b + a ⋮ 10 thì C - 5abc ⋮ 10 

b. Dành cho lớp Tiếng Anh học thuật

A parallelogram ABCD has AB = 8cm and BC = 5cm. Caculate the perimeter of parallelogram ABCD.

Lời giải

Ta có: C = (a + b)(b + c)(a + c) + abc 

= (a + b)(bc + ab + c² + ca) + abc

= (a + b)[(ca + bc + c²) + ab] + abc  

= (a + b)(ca + bc + c²) + (a + b)ab + abc

= c(a + b)(a + b + c) + ab(a + b + c) = (a + b + c)(ca + bc + ab)

=> C - 5abc = (a + b + c)(ca + bc + ab) - 5abc  

Mà a + b + a ⋮ 10 nên (a + b + c)(ca + bc + ab) ⋮ 10 và trong ba số a, b, c có ít nhất một số chẵn nên 5abc  ⋮ 10 

=> C - 5abc  ⋮ 10 

b. Dành cho lớp Tiếng Anh học thuật

A parallelogram ABCD has AB = 8cm and BC = 5cm. Caculate the perimeter of parallelogram ABCD.

Lời giải

Because ABCD is a parallelogram => AB = CD = 8cm; AD = BC = 5cm.

So the the perimeter of parallelogram ABCD is: (8 + 5).2 = 26 (cm).

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---