Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

A.B. Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để thực hiện các biến đổi sau

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

- Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: ax2 + bx = ……….

- Chia hai vế cho hệ số a (a ≠ 0): Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Thêm vào hai vế Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất để vế trái thành bình phương của một biểu thức:

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Ta được: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Kí hiệu ∆ = b2 - 4ac và gọi nó là biệt thức của phương trình (1) (∆ là một chữ cái Hi Lạp, đọc là “denta”).

b) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để xét các trường hợp của biệt thức

- Nếu ∆ > 0 thì từ phương trình (2) suy ra: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm: x1 = … ; x2 = …

- Nếu ∆ = 0 thì từ phương trình (2) suy ra: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép: x = ……….

- Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm vì …………..

c) Đọc kĩ nội dung sau

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức ∆ = b2 - 4ac:

- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ. Giải các phương trình sau:

i) 2x2 + x – 6 = 0;

- Tính ∆ = b2 - 4ac. Phương trình có các hệ số là a = 2; b = 1; c = -6.

∆ = 12 - 4.2.(-6) = 1 + 48 = 49 > 0

- Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm,phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

ii) y2 – 8y + 16 = 0

- Tính ∆ = b2 - 4ac. Phương trình có các hệ số là a = 1, b = -8, c = 16.

∆ = (-8)2 - 4.1.16 = 0

- Do ∆ = 0 nên phương trình có nghiệm kép: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

iii) 3z2 + 5z + 4 = 0

- Tính ∆ = b2 - 4ac. Phương trình có các hệ số là a = 3; b = 5; c = 4.

∆ = 52 - 4.3.4 = -23 < 0

- Do < 0 nên phương trình vô nghiệm.

d) Giải các phương trình sau

i) 6x2 + x – 5 = 0

ii) x2 – 6x + 9 = 0

iii) 6x2 – x + 5 = 0

Hãy nhận xét về dấu của hai hệ số a và c trong phương trình 6x2 + x – 5 = 0. Dấu của hai hệ số a và c đó có liên quan gì tới dấu của biệt thức?

Em hãy rút ra nhận xét về số nghiệm của phương trình bậc hai trong những trường hợp như vậy.

e) Đọc kĩ nội dung sau

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dâu, tức là ac < 0 thì ∆ = b2 - 4ac > 0. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Trả lời:

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: ax2 + bx = −c

Chia hai vế của hệ cho hệ số a (a ≠ 0): Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Tách hạng tử Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Thêm vào hai vế Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất để vế trái thành bình phương của một biểu thức:

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

b)

• Nếu Δ > 0 thì từ phương trình (2) suy ra: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

• Nếu Δ = 0 thì từ phương trình (2) suy ra: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

• Nếu Δ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm vì Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất (vô lý)

c)

i) 6x2 + x – 5 = 0

Δ = 12 − 4×6×(−5) = 121 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

ii) x2 − 6x + 9 = 0

Δ = (−6)2 − 4×1×9 = 0

Vậy phương trình có nghiệm kép: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

iii) 6x2 − x + 5 = 0

Δ = (−1)2 − 4×6×5 = −119 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

Nhận xét: Dấu của hệ số a và c trong phương trình 6x2 + x − 5 = 0 là trái dấu.

Khi a và c trái dấu thì biệt thức Δ > 0, và phương trình có hai nghiệm phân biệt.

C. Hoạt động luyện tập

1. Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Bài làm:

a) x2 − 10x + 27 = 0

Δ = b2 − 4ac = (−10)2 − 4×1×27 = −8 < 0

Vậy, phương trình có 0 nghiệm.

b) − 0,5x2 − 3,5x + 2,5 = 0

Δ = b2 − 4ac = (−3,5)2 − 4×(−0,5)×2,5 = 17,25 > 0

Vậy, phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

2. Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:

 a) 2x2 – 7x + 6 = 0

 b) 3x2 – 5x + 7 = 0

 c) 0,2x2 + 0,4x – 7 = 0

 d) -3x2 + 5x – 2 = 0

 e) y2 – 14y + 49 = 0

 g) t2 – 5t + 3 = 0

Bài làm:

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

D. Hoạt động vận dụng

Giải phương trình bậc hai một ẩn trên máy tính CASIO fx-570ES PLUS

Công cụ EQN (Equation) trên máy tính CASIO fx-570ES PLUS giúp chúng ta giải phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Ta thực hiện như sau:

- Ấn phím MODE, màn hình máy tính sẽ hiện ra các dòng:

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

- Chọn phím 5 để giải các phương trình bậc hai, bậc ba và hệ phương trình. Khi đó, màn hình sẽ hiện ra các dòng:

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

- Đề giải phương trình bậc hai một ẩn ta ấn phím 3, sau đó nhập lần lượt các hệ số của phương trình cùng phím = : a = b = c =.

Ví dụ 1. Giải phương trình 73x2 – 47x – 25460 = 0.

Ta ấn các phím như sau:

MODE → 5 → 3 → 7 3 = - 47 = -25460 =

Kết quả x1 = 19; x2 =

Nếu ấn tiếp phím S ⇔ D thì ta được kết quả -18,3562;

Ấn tiếp SHIFT S ⇔ D thì ta được Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Ví dụ 2. Giải phương trình x2 + 2x + 4 = 0.

Vẫn trong môi trường giải phương trình bậc hai một ẩn, ta nhập:

   1 = 2 = 4 =

Kết quả Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Đây là nghiệm phức, ta sẽ được học trong chương trình trung học phổ thông.

Ta kết luận: Phương trình không có nghiệm thực, hay phương trình vô nghiệm.

E. Hoạt động tìm tòi mở rộng

1. Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép?

Tìm nghiệm kép đó

 a) x2 – mx + 1 = 0

 b) 3x2 + mx + 12 = 0

Bài làm:

a) x2 – mx + 1 = 0

Δ = (−m)2 − 4×1×1 = m2 − 4

Để phương trình có nghiệm kép thì: Δ = m2 − 4 = 0 ⇒ m = ± 2

Nghiệm kép đó là: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

b) 3x2 + mx + 12 = 0

Δ = m2 − 4×3×12 = m2 − 144

Để phương trình có nghiệm kép thì: Δ = m2 − 144 = 0 ⇒ m = ± 12

Nghiệm kép đó là: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

2. Với giá trị nào của k thì mỗi phương trình sau vô nghiệm?

 a) 2x2 + kx + 1 = 0

 b) 5x2 + 10x + k = 0

Bài làm:

a) 2x2 + kx + 1 = 0

Δ = k2 − 4×2×1 = k2 − 8

Để phương trình vô nghiệm thì: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

hay Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

b) 5x2 + 10x + k = 0

Δ = 102 − 4×5×k = 100 − 20k

Để phương trình vô nghiệm thì: Δ = 100− 20k < 0 ⇒ k > 5

3. Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? Khi đó, hãy tính nghiệm của phương trình theo m.

 a) 4x2 + mx – 7 = 0

 b) 2x2 + 3x + m – 1 = 0

Bài làm:

a) 4x2 + mx − 7 = 0

Δ = m2 − 4×4×(−7) = m2 + 112

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: Δ = m2 + 112 > 0 (đúng với mọi giá trị của m)

Hai nghiệm đó là: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

b) 2x2 + 3x + m − 1 = 0

Δ = 32 − 4×2×(m − 1) = 1 − m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: Δ = 1 − m > 0 ⇒ m < 1

Hai nghiệm đó là: Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

4. Em có biết?

Vào năm 628 sau Công Nguyê, Bra-ma-gup-ta (Brahmagupta), một nhà toán học Ấn Độ đã đưa ra lời giải rõ ràng đầu tiên (dù vẫn chưa hoàn toàn tổng quát) cho phương trình bậc hai ax2 + bx = c. Sau đó, vào thế kỉ IX, nhà bác học An Khô-va-ri-zmi (Al-Khowarizmi) ở thành Bát-đa (Baghdad – Thủ đô nước I-rắc ngày nay) cũng tìm được công thức này bằng phương pháp tách ra một bình phương nhờ một minh họa hình học. Chẳng hạn, để giải phương trình x2 + 10x = 39, ông đã biến vế trái thành một bình phương như minh họa trên hình 14.

Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Hình vẽ này cho thấy, nếu cộng Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất vào hai vế của phương trình thì vế trái bằng Giải Toán 9 VNEN Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất hay (x + 5)2 và là diện tích của hình vuông có cạnh bằng x + 5, còn vế phải bằng 39 + 25 = 64. Tính cạnh là x + 5, ta sẽ tìm được x.

(Trang 46, Sách giáo khoa Toán 9 tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam,2016)

Xem thêm các bài Giải bài tập Toán lớp 9 chương trình VNEN hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

GIẢM GIÁ 75% KHÓA HỌC VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Giải bài tập Toán lớp 9 VNEN của chúng tôi được biên soạn bám sát theo chương trình Hướng dẫn học Toán 9 chương trình mới VNEN Tập 1 & Tập 2.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Nhóm hỏi bài 2k6