Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn

A. Hoạt động khởi động

Chuẩn bị 1 chiếc ê-ke (hay một miếng bìa cứng mỏng có dạng 1 chiếc ê-ke). Đóng trên mặt tấm gỗ mỏng hai chiếc đinh cách nhau một khoảng nhỏ (là AB, hình 88). Đặt ê-ke áp sát trên tấm gỗ đó, sao cho ê-ke (là C) di động nhưng mỗi cạnh góc vuông của ê-ke luôn áp sát vào một chiếc định.

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Khi ê-ke đó di động có thể dùng bút (chì) để đánh dấu lại vị trí đỉnh C của nó. Theo em khi di động như thế thì đỉnh C của chiếc ê-ke tạo nên hình gì?

Trả lời:

Khi ê ke đó di động, đỉnh C của chiếc ê ke tạo nên một đường tròn đường kính là AB.

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu về cung chứa góc

a) Đọc và làm theo hướng dẫn

Vẽ đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ dây PQ bất kì của (O). Lấy các điểm bất kì A, B, C thuộc Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất(h.89).

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Tại sao Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất (Gợi ý: Đó là các góc nội tiếp cùng chắn một cung của (O)).

Như vậy, trong đường tròn (O; R) có dây cung PQ bất kì với điểm A nào đó thuộc cung PQ, góc PAQ không đổi (giả sử Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất = α (0° < α < 180°)).

Với điểm bất kì nằm trên cung đói xứng của cung PQ qua đường thẳng PQ (như A’, B’, C;) thì ta cũng có Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Khi đó, cung PQ hoặc cung đối xứng của cung PQ qua đường thẳng PQ là cung chứa góc α dựng trên đoạn PQ với 0° < α < 180°.

b) Đọc kĩ nội dung sau

Với đoạn thẳng AB và góc α (0° < α < 180°) cho trước, tập hợp các điểm M thỏa mãn Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

Ta cũng còn nói: Tập hợp các điểm M nhìn đoạn AB dưới một góc α không đổi α (0° < α < 180°) là hai cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB.

Quy ước: Hai điểm A và B được coi là thuộc tập hợp này.

Chú ý: Hai cung chứa góc α (0° < α < 180°) dựng trên đoạn AB đối xứng nhau qua đường thẳng AB.

c) Luyện tập, ghi vào vở

Cho trước hai điểm A, B cố định

Theo em, tập hợp các điểm M sao cho Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất là hình gì?

Hướng dẫn: Do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có góc vuông nên khi α = 90° thì hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB tạo thành đường tròn đường kính AB (h.90).

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Như vậy: Tập hợp (hay quỹ tích) các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

2. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu về tứ giác nội tiếp đường tròn

a) Đọc và làm theo hướng dẫn

Vẽ đường tròn tâm O bán kính R.

Lấy trên (O) bốn điểm A, B, C, D rồi vẽ tứ giác ABCD (h.91a).

Lấy trên (O) ba điểm E, H, G và lấy điểm F không thuộc (O) rồi vẽ tứ giác EFGH (h.91b). Hoặc trên (O) lấy ba điểm M, N, P và lấy điểm Q không thuộc (O) rồi vẽ tứ giác MNPQ (h.91c).

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Tứ giác ABCD có cả bốn đỉnh cùng thuộc (O) được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (O).

b) Đọc kĩ nội dung sau

Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Chẳng hạn, ở hình 91, ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn (O), còn MNPQ không phải là tứ giác nội tiếp đường tròn (O). Khi đó, ta cũng nói đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Chú ý: Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) thì OA = OB = OC = OD. Ngược lại, nếu có điểm O sao cho OA = OB = OC = OD thì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn (O).

c) Luyện tập, ghi vào vở

Xem hình 92 và kể tên các tứ giác nội tiếp có các đỉnh lấy trong số các điểm A, B, C, D, E đó.

Hướng dẫn: Các tứ giác nội tiếp ABCE, ABDE, …

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Trả lời:

c) Các tứ giác nội tiếp có các đỉnh là các điểm A, B, C, D, E là: ABCE, ABDE, ACDE, ABCD.

3. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu về dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn

a) Đọc và làm theo hướng dẫn

Vẽ tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) (h.93).

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất có phải là góc nội tiếp không? Nó chắn cung nào?

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

b) Đọc kĩ nội dung sau

Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo của hai góc đối bằng 180°.

Ngược lại: Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° thì nó là tứ giác nội tiếp (ta công nhận điểu này).

c) Luyện tập, ghi vào vở

i) Biết MNPQ là tứ giác nội tiếp (và có các góc là M, N, P, Q), hãy điền vào mỗi ô trống trong bảng sau để có kết quả đúng.

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

ii) Xem hình 94 và cho biết tứ giác nào là tứ giác nội tiếp? Vì sao?

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Hướng dẫn: ABCD là tứ giác nội tiếp vì Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

iii) Hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.

Gợi ý (h.95). Nếu thang ABCD (AB // CD) nội tiếp (O) thì Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Trả lời:

a)

   Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất là góc nội tiếp chắn cung BCD

   Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất (Mối liên hệ giữa số đo góc nội tiếp và số đo cung bị chắn)

   Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất (Mối liên hệ giữa góc nội tiếp và cung bị chắn)

   Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

c)

i) Các em làm theo hướng dẫn để được bảng sau:

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

ii) Tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp vì Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

C. Hoạt động luyện tập

1. Cho tam giác ABC có hai đỉnh B và C cố định, Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất còn đỉnh A di động. Theo em, tập hợp đỉnh A là hình gì?

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Hướng dẫn:

Theo giả thiết thì điểm A di động nhưng luôn nhìn đoạn BC dưới góc 60° (h.96) nên tập hợp điểm A là cung chứa góc 60° dựng trên đoạn BC (không tính hai điểm B và C).

2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AK, BM, CL, chúng cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng:

a) LHKB, MHKC, MHLA là các tứ giác nội tiếp

b) BLMC, CKLA, AMKB là các tứ giác nội tiếp

Hướng dẫn: Xem hình 97

a) Tứ giác LHKB có Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất nên nó có tổng hai góc đối bằng 180°, vì thế nó là tứ giác nội tiếp.

Tương tự, chứng minh được MHKC và MHLA là các tứ giác nội tiếp.

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC thì trong tam giác vuông BLC có IB = IL = IC, còn trong tam giác vuông BMC có IB =IM = IC. Từ đó suy ra IB = IL = IM = IC, hay BLMC là tứ giác nội tiếp.

Tương tự, chứng minh được CKLA và AMKB là các tứ giác nội tiếp.

3. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai? Vì sao?

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Bài làm:

Phát biểu Đúng (Đ) / Sai(S) Giải thích

a) Nếu có điểm O sao cho OA = OB = OC = OD thì ABCD là tứ giác nội tiếp.

Đ

Vì tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn (O).

b) ABCD là tứ giác nội tiếp nếu có tổng hai góc bằng 180°.

S

Vì hai góc có tổng bằng 180° chưa chắc là tổng của hai góc đối nhau.

c) ABCD là tứ giác nội tiếp nếu có một cặp góc đối cùng bằng 90°.

Đ

Vì tứ giác này có tổng hai góc đối bằng 180°

d) ABCD là tứ giác nội tiếp nếu có cả bốn góc cùng bằng nhau.

Đ

Vì tổng các góc trong tứ giác bằng 360°, mà ABCD có bốn góc bằng nhau nên Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất Tổng hai góc đối trong tứ giác này là 180°

e) Hình thang cân là tứ giác nội tiếp.

Đ

Xem phần iii ý 3c.

g) Hình chữ nhật là tứ giác nội tiếp.

Đ

Vì hình chữ nhật có tổng hai góc đối là 180°

h) Hình thoi là tứ giác nội tiếp.

S

Vì hình thoi có các góc đối bằng nhau và tổng hai góc kề một cạnh bằng 180°

i) Hình bình hành là tứ giác nội tiếp.

S

Vì hình bình hành có tổng hai góc kề bằng 180° chứ không phải tổng hai góc đối.

4. Chứng minh rằng: Nếu một tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì nó là tứ giác nội tiếp.

Bài làm:

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Giả sử, tứ giác ABCD có đỉnh B và đỉnh C cùng nhìn cạnh AD dưới một góc 90°, ta cần chứng minh ABCD nội tiếp được.

Xét tam giác ABD vuông tại B nên tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD.

Tam giác ACD vuông tại C nên tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O') đường kính AD.

Hai đường tròn (O) và (O') cùng có đường kính là AD nên trùng nhau, do đó A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay ABCD nội tiếp được

D.E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi mở rộng

1. Về phạt đều trong bóng đá

Phạt đền, còn lại là đá phạt 11 mét, hay đá pê-nan-ti (theo từ tiếng Pháp penalty), là một kiểu đá phạt mà vị trí của quả đá phạt này là 11 mét, tính từ khung thành và thủ môn của đội bị phạt.

(Nguồn: http://vi/wikipedia.org/wiki/Ph%E1%BA%A1t_%C4%91%E1%BB%81n_(b%C3%B-3ng_%C4%91%C3%A1).

Theo đó, em hãy tính xem “góc sút” của quả phạt 11 mét khoảng bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m (h.98)). Có hay không những vị trí khác trên sân khâu có cùng “góc sút” như quả phạt 11 mét? Nếu có thì đó là những vị trí nào?

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Bài làm:

Gọi AB là chiều rộng cầu môn, cầu thủ đứng ở vị trí C, gọi H là trung điểm của AB.

Giải Toán 9 VNEN Bài 8: Cung chứa góc - Tứ giác nội tiếp đường tròn | Giải bài tập Toán 9 VNEN hay nhất

Trên sân sẽ còn các vị trí thuộc cung ACB cùng chứa góc sút như vậy.

2. Tìm hiểu định lý Ptoleme về tứ giác nội tiếp.

Ptoleme (tức Claudius Ptolemaeus, khoảng 100-178) là nhà toán học và nhà thiên văn học người Hi Lạp cổ đại. Định lí Ptoleme, do ông phát minh, mà nội dung có thể hiểu như sau:

a) Nếu một tứ giác nội tiếp đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp đối diện.

b) Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

Em thử tìm cách chứng minh Định lí này xem!

Xem thêm các bài Giải bài tập Toán lớp 9 chương trình VNEN hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

GIẢM GIÁ 75% KHÓA HỌC VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Giải bài tập Toán lớp 9 VNEN của chúng tôi được biên soạn bám sát theo chương trình Hướng dẫn học Toán 9 chương trình mới VNEN Tập 1 & Tập 2.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Nhóm hỏi bài 2k6