Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng

A. Hoạt động khởi động

Giải các phương trình sau

i) x2 – 31x + 30 = 0

ii) 2x2 + 5x + 3 = 0

- Tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình trên.

- Nhận xét về tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình với các hệ số của phương trình đó.

Trả lời:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. a) Thực hiện hoạt động sau

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Hãy tính: x1 + x2 ; x1.x2 theo a, b, c.

b) Đọc kĩ nội dung sau

Định lí Vi-ét

Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

c) Biết rằng các phương trình sau có nghiệm, không giải phương trình, hãy tính tổng và tích của chún theo mẫu:

i) 2x2 + 9x – 2 = 0;

ii) -3x2 – 6x + 1 = 0.

Mẫu: Phương trình 4x2 – 5x – 7 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 (do ac = -28 < 0)

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

2. a) Thực hiện các hoạt động sau

Cho phương trình: 3x2 – 7x + 4 = 0

 • Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c

 • Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.

 • Dùng hệ thức Vi-ét để tìm x2.

b) Đọc kĩ nội dung sau

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

c) Tính nhẩm nghiệm của phương trình -5x2 + 11x – 6 = 0 (theo mẫu):

Mẫu: Tính nhẩm nghiệm của phương trình x2 – 31x + 30 = 0

Giải. Có a = 1; b = -31; c = 30 => a + b + c = 1 + (-31) + 30 = 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Trả lời:

a) Các hệ số: a = 3; b = -7; c = 4; a + b + c = 3 + (-7) + 4 = 0;

Thay x1 = 1 vào vế trái phương trình: 3×12 − 7×1 + 4 = 0 = VP.

Vậy, x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

3. a) Thực hiện các hoạt động sau

Cho phương trình: x2 + 7x + 6 = 0

 • Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c

 • Chứng tỏ x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.

 • Dùng hệ thức Vi-ét để tìm x2.

b) Đọc kĩ nội dung sau

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

c) Tính nhẩm nghiệm của phương trình 2017x2 + 2018x + 1 = 0 (theo mẫu):

Mẫu: Tính nhẩm nghiệm của phương trình 2x2 + 5x + 3 = 0

Giải. Có a = 2; b = 5; c = 3 => a - b + c = 2 – 5 + 3 = 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Trả lời:

a) Các hệ số: a = 1; b = 7; c = 6; a - b + c = 1 - 7 + 6 = 0;

Thay x1 = −1 vào vế trái phương trình: ×(−1)2 + 7×(−1) + 6 = 0 = VP.

Vậy, x1 = −1 là một nghiệm của phương trình.

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

4. a) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để giải bài toán sau

Tìm hai số có tổng bằng S và tích bằng P.

Giải. Gọi một số là x thì số còn lại là ………

Theo giả thiết ta có phương trình x(S – x) = ……..

Hay x2 – Sx + P = 0 (1)

Nếu ∆ = S2 - 4P ≥ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm:

x1 = …….. ; x2 = ……….

Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.

b) Đọc kĩ nội dung sau

Nếu hai số có tổng bảng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai nghiệm đó là S2 – 4P ≥ 0.

c) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 29 và tích của chúng bằng 198.

Giải. Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: x2 – 29x + 198 = 0

∆ = ………………………, suy ra Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

x1 = …………. ; x2 = ………….

Vậy hai số cần tìm là: …………….

Tương tự, hãy tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.

d) Viết tiếp vào chỗ chấm (…) để nhẩm nghiệm của phương trình x2 + x – 6 = 0.

Giải. Vì 3 + (-2) = 1 và 3.(-2) = -6 nên x1 = …….. ; x2 = …… là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Trả lời:

a) Gọi một số là x thì số còn lại là S − x

Theo giả thiết ta có phương trình: x(S − x)=P

Hay x2 – Sx + P = 0

Nếu Δ = S2 − 4P ≥ 0 thì (1) có hai nghiệm:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.

c)

 • Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: x2 − 29x + 198 = 0

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Vậy hai số cần tìm là: 18 và 11

 • Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: x2 − 27x + 180 = 0

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Vậy hai số cần tìm là: 15 và 12

d) Vì (−3) + 2 = −1 và (−3)×2 = −6 nên x1 = −3; x2 = 2 là hai nghiệm của phương trình đã cho.

C. Hoạt động luyện tập

1. Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tỏng và tích các nghiệm của mỗi phương trình sau (theo mẫu):

a) x2 – 12x + 9 = 0;

b) 4x2 – 5x – 6 = 0

c) 9x2 – 6x + 1 = 0

d) 3x2 – 5x – 17 = 0

Mẫu: Phương trình 2x2 – 7x + 2 = 0

Ta có: ∆ = 72 – 4.2.2. = 33 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Bài làm:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

2. Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 31x2 – 45x + 14 = 0

b) 7x2 + 23x – 30 = 0

c) 5x2 – 28x – 33 = 0

d) 1234x2 + 17x – 1217 = 0

Bài làm:

a) 31x2 − 45x + 14 = 0

Phương trình có: 31 + (−45) + 14 = 0 nên có hai nghiệm là Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

b) 7x2 + 23x – 30 = 0

Phương trình có: 7 + 23 + (−30) = 0 nên có hai nghiệm là Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

c) 5x2 – 28x – 33 = 0

Phương trình có: 5 − (−28) + (−33) = 0 nên có hai nghiệm là Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

d) 1234x2 + 17x – 1217 = 0

Phương trình có: 1234 − 17 + (−1217) = 0 nên có hai nghiệm là Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

3. Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) x2 + 5x – 24 = 0

b) x2 – x – 20 = 0

Bài làm:

a) x2 + 5x – 24 = 0

Vì (−8) + 3 = −5 và (−8)×3 = −24 nên phương trình có hai nghiệm là: x1 = −8 và x2 = 3

b) x2 – x – 20 = 0

Vì (−4) + 5 = 1 và (−4)×5 = −20 nên phương trình có hai nghiệm là: x1 = −4 và x2 = 5

4. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = -7; uv = 12

b) u + v = 32; uv = 231

c) u + v = 3; uv = -154

Bài làm:

a) u + v = −7; u×v = 12

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 + 7x + 12 = 0

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Vậy, hai số cần tìm là: −3 và −4

b) u + v = 32; u×v = 231

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 − 32x + 231 = 0

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Vậy, hai số cần tìm là: 21 và 11

c) u + v = 3; u×v = −154

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 − 3x − 154 = 0

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Vậy, hai số cần tìm là: 11 và −14

D.E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi mở rộng

1. Chứng tỏ rằng phương trình 7x2 – 3x – 54 = 0 có một nghiệm là 3. Tìm nghiệm còn lại.

Bài làm:

Thay x = 3 vào vế trái của phương trình: 7×(3)2 − 3×3 − 54 = 0 = VP

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có: Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Bài làm:

a) −3 và 7

Tổng hai số đã cho là: −3 + 7 = 4.

Tích hai số đã cho là: (−3)×7 = −21

Vậy, phương trình bậc hai lập được là: x2 − 4x − 21 = 0

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

3. Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1 và x2 thì tam thức ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).

Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 2x2 – 5x + 3

b) 3x2 + 8x + 5

Bài làm:

 • Chứng minh:

Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1 và x2 khi Δ = b2 − 4ac ≥ 0

Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2;

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Xét tam thức:

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

 • Áp dụng:

a) 2x2 − 5x + 3 = 0

Phương trình trên có: 2 + (-5) + 3 = 0 nên có một nghiệm là

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

b) 3x2 + 8x + 5 = 0

Phương trình trên có: 3 - 8 + 5 = 0 nên có một nghiệm là

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

4. Em có biết?

Phrăng-xoa Vi-ét (F.Viete) sinh năm 1540 tại Pháp. Ông là một nhà toán học nổi tiếng. Chính ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn và cả các hệ số của phương trình, đồng thời dùng chúng trong việc biến đỏi và giải phương trình. Nhờ cách dùng chữ để kí hiệu mà Đại số đã phát triển mạnh mẽ. Ông đã phát hiện mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai.

Giải Toán 9 VNEN Bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng | Hay nhất Giải bài tập Toán 9

Ngoài việc làm toán, Vi-ét còn là một luật sư và một chính trị ra nổi tiếng. Ông mất năm 1603.

(Trang 53, Sách giáo khoa toán 9 tập hai, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016)

Xem thêm các bài Giải bài tập Toán lớp 9 chương trình VNEN hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Giải bài tập Toán lớp 9 VNEN của chúng tôi được biên soạn bám sát theo chương trình Hướng dẫn học Toán 9 chương trình mới VNEN Tập 1 & Tập 2.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên