Công thức giải nhanh Hình học lớp 12 chi tiết nhất



Việc nhớ chính xác một công thức Toán lớp 12 trong hàng trăm công thức không phải là việc dễ dàng, với mục đích giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc nhớ Công thức, VietJack biên soạn bản tóm tắt Công thức giải nhanh Hình học lớp 12 chi tiết nhất. Hi vọng loạt bài này sẽ như là cuốn sổ tay công thức giúp bạn học tốt môn Toán lớp 12 hơn.

Tải xuống

Mục lục Công thức giải nhanh Hình học lớp 12

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

I. Hình chóp – khối chóp:

Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích dáy nhân với chiều cao

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Một số lưu ý khi tính diện tích đa giác:

- Trong tam giác ABC, nếu M là điểm tùy ý trên cạnh BC ta có:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

- Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành 4 phần có diện tích bằng nhau.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

II. Các khối hình chóp thường gặp:

1) Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và tất cả các cạnh bên đều bằng nhau.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Tính chất của hình chóp đều:

- Đường cao đi qua tâm của đáy.

- Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các góc bằng nhau.

- Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.

Chú ý:

- Tứ giác đều là hình vuông, ta thường vẽ là hình bình hành có tâm là giao điểm của 2 đường chéo.

- Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác thường có tâm là giao điểm hai đường trung tuyến.

- Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

2) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Chú ý: Giả thiết bài toán có thể cho một trong hai dạng sau:

+) SA ⊥ (ABCD)

+) (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD)

Ta có: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó”

3) Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: thì đường cao của mặt bên đó sẽ là đường cao của hình chóp.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Chú ý:

+) Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia”

+) Đường cao SH của ΔSAB chính là đường cao của hình chóp nên vẽ SH thẳng đứng.

+) Thường bài toán cho “ΔSAB là tam giác đều là nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy” ta trình bày như sau:

- Gọi H là trung điểm AB

- Vì ΔSAB đều ⇒ SH là đường cao của ΔSAB ⇒ SH ⊥ AB

Ta có: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

III. Tỉ số thể tích của khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Ta có: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất (Công thức này chỉ được dùng cho khối chóp tam giác)

Các trường hợp đặc biệt:

+) C ≡ C'

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) C ≡ C' , B ≡ B'

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

IV. Ứng dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng:

Ta có:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Tương tự:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Trong đó: VA.SBC = VB.SAC = VC.SAB = VS.ABC

V. Hình lăng trụ - khối lăng trụ:

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

V = Sday x cao

Tính chất của hình lăng trụ:

+) Các cạnh bên song song và bằng nhau.

+) Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.

+) Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hai đa giác bằng nhau, có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.

Đối với hình lăng trụ đứng:

+) Các cạnh bên cũng là đường cao.

+) Các mặt bên là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

2) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Đối với lăng trụ đều, các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau.

3) Hình hộp:

+) Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

+) Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy.

+) Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Thể tích hình hộp chữ nhật (a, b, c: 3 kích thước)

+) Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

Thể tích hình lập phương V = a3 (a: độ dài cạnh)

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

I. Mặt cầu – Khối cầu:

1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R được ký hiệu S(I;R) là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một khoảng R không đổi.

Mặt cầu cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối cầu.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

2) Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:

- Diện tích mặt cầu: S = 4πR2

- Thể tích khối cầu: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

II. Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ:

1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB khi đó cạnh CD vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau, hình tạo thành bởi mặt trụ và hai hình tròn này được gọi hình trụ. Hai hình tròn này được gọi là hai đáy của hình trụ.

+) Cạnh CD được gọi là đường sinh của hình trụ.

+) Cạnh AB được gọi là trục của hình trụ.

+) Khoảng cách giữa hai đáy được gọi là chiều cao của hình trụ.

+) Hình trụ cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối trụ.

2) Diện tích mặt trụ và thể tích khối trụ:

+) Diện tích xung quanh mặt trụ: Sxq = 2πrl (l : độ dài đường sinh, r : bán kính đáy )

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = Sxq + 2Sday = 2πrl + 2πr2

+) Thể tích khối trụ: V = Sday.cao = πr2h (h : chiều cao)

III. Mặt nón – Hình nón - Khối nón:

1) Định nghĩa: Cho tam giác OIM vuông tại I quay quanh cạnh IO khi đó cạnh OM vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Cạnh IM vạch ra một hình tròn, hình tạo thành bởi mặt nón và hình tròn này được gọi là hình nón. Hình tròn này được gọi là mặt đáy của hình nón.

+) Cạnh OM được gọi là đường sinh của hình nón.

+) Cạnh OI được gọi là trục của hình nón. Độ dài đoạn OI được gọi là chiều cao của hình nón.

+) Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.

2) Diện tích mặt nón và thể tích khối nón:

+) Diện tích xung quanh mặt nón: Sxq = πrl ( l : độ dài đường sinh, r : bán kính đáy )

+) Diện tích toàn phần hình nón: Stp = Sxq + Sday = πrl + πr2

+) Thể tích khối nón: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ( h : chiều cao)

IV. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp thường gặp

Hình 1: Hình chóp S.ABC có ΔABC vuông tại B, SA ⊥ (ABC) .

Cách đặc biệt

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Gọi I là trung điểm của SC.

ΔSAC vuông tại A ⇒ IA = IS = IC (1)

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

⇒ ΔSBC vuông tại B ⇒ IB = IS = IC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Hình 2: Hình chóp S.ABC có ΔABC vuông tại A, SA ⊥ (ABC) .

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Gọi O là trung điểm của BC ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC .

Qua O dựng đường thẳng Δ vuông góc với mp(ABC) ⇒ Δ là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC .

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ Δ

Ta có:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Hình 3: Hình chóp S.ABC có ΔABC là tam giác đều, SA ⊥ (ABC).

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Gọi J là trung điểm BC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Qua O dựng đường thẳng Δ vuông góc với mp(ABC) ⇒ Δ là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC .

Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ Δ

Ta có:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Hình 4: Hình chóp đều S.ABC.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC ⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ SO

Ta có:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: R = IS

Cách tính bán kính:

ΔSMI # ΔSOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông (hoặc hình chữ nhật), SA ⊥ (ABCD)

Cách đặc biệt

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Gọi I là trung điểm của SC.

ΔSAC vuông tại A ⇒ IA = IS = IC (1)

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SB

⇒ ΔSBC vuông tại B ⇒ IB = IS = IC (2)

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD

⇒ ΔSCD vuông tại D ⇒ ID = IS = IC (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ IA = IB = IC = ID = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Hình 6: Hình chóp đều S.ABCD.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo ⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ SO

Ta có:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

⇒ IA = IB = IC = ID = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: R = IS

Cách tính bán kính:

ΔSMI # ΔSOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

I. Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau có véctơ đơn vị lần lượt là: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

II. Tọa độ của vectơ: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Đặc biệt: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

III. Tọa độ của điểm: M(x;y;z) ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất = (x;y;z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Đặc biệt:

M ∈ (Oxy) ⇔ zM = 0

M ∈ (Oyz) ⇔ xM = 0

M ∈ (Oxz) ⇔ yM = 0

M ∈ Ox ⇔ yM = zM = 0

M ∈ Oy ⇔ xM = zM = 0

M ∈ Oz ⇔ xM = yM = 0

Hình chiếu vuông góc của điểm M(xM;yM;zM) lên:

Trục Ox là: M1(xM;0;0)

Trục Oy là: M2(0;yM;0)

Trục Oz là: M3(0;0;zM)

mp(Oxy) là: M12(xM;yM;0)

mp(Oxz) là: M13(xM;0;zM)

mp(Oyz) là: M23(0;yM;zM)

IV. Các công thức về tọa độ: Nếu Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất thì:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất “Hoành bằng hoành, tung bằng tung, cao bằng cao”

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất cùng phương Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ⇔ tồn tại một số k sao cho: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Tọa độ vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

V. Tích vô hướng của hai vectơ:

+) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Nếu Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất thì: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất “Hoành nhân hoành+ tung nhân tung + cao nhân cao”

+) Ứng dụng:

Độ dài vectơ: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Độ dài đoạn thẳng AB:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Góc giữa hai vectơ:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Điều kiện hai vectơ vuông góc:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

VI. Tích có hướng của hai vectơ:

+) Định nghĩa: Cho hai vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất . Tích có hướng của hai vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất là 1 vectơ được xác định như sau:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Quy tắc: 23-31-12 Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Cách tính tích có hướng của hai vectơ bằng máy tính

1. Máy 570VN PLUS

ON → MODE → 8 → 1 → 1: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → MODE → 8 → 2 → 1: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → SHIFT → 5 → 3 → X → SHIFT → 5 → 4 → =

2. Máy 570ES PLUS

ON → MODE → 8 → 1 → 1: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → SHIFT → 5 → 2 → 2 → 1: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → SHIFT → 5 → 3 → X → SHIFT → 5 → 4 =

3. Máy 570MS

ON → SHIFT → 5 → 1 → 1 → 3: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → SHIFT → 5 → 1 → 2 → 3: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → SHIFT → 5 → 3 → 1 → X → SHIFT → 5 → 3 → 2 → =

+) Tính chất của tích có hướng:

- Nếu Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Hai vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhấtCông thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất cùng phương với nhau ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Ba vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất , Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhấtCông thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất đồng phẳng với nhauCông thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất = 0

( Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ)

+) Ứng dụng của tích có hướng:

- A, B, C thẳng hàng ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- A, B, C, D đồng phẳng ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất = 0

Suy ra A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng) ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ≠ 0

- Diện tích hình bình hành ABCD: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Diện tích tam giác ABC: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D': Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Thể tích tứ diện ABCD: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

VII. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi qua M0(x0;y0;z0) và có VTPT Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất là:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

- Nếu (α) có phương trình Ax + Bx + Cz + D = 0 thì (α) có VTPT là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt này cũng là VTPT của mặt kia, hai mặt phẳng vuông góc nhau thì VTPT của mặt này là VTCP của mặt kia.

- Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng :

(α) : Ax + Bx + Cz + D = 0 : d(M0);(α) = Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Đặc biệt: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó.

Dạng 1: (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) có VTPT Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất :

(α): A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Dạng 2: (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) có cặp VTCP Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất , Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VTPT của (α) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất .

Dạng 3: (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VNPTCông thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất .

Dạng 4: (α) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VTPT của (α) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 5: (α) là mặt phẳng trung trực của MN:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

(α): Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 6: (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VTPT của (α) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 7: (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H ((α) là tiếp diện của mặt cầu (S) tại H):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Tìm tâm I của mặt cầu (S)

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 8: (α) song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Vì (α) song song với (β) nên phương trình mp(α) có dạng Ax + By + Cz + m = 0 (m ≠ D)

– Vì (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I,(α)) = R → Giải phương trình này ta tìm được m .

Dạng 9: (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và vuông góc với đường thẳng AB:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VTPT của (α) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 10: (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và vuông góc với đường thẳng Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VTPT của (α) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 11: (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau (hoặc cắt nhau):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 12: (α) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 13: (α) chứa đường thẳng d và 1 điểm M không nằm trên d:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Trên d lấy 1 điểm A

- Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 14: (α) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 ⇒ M ∈ (α).

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 15: (α) chứa 2 đường thẳng song song d1, d2 :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Lấy M1 thuộc d1 và M2 thuộc d2

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 16: (α) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (β):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α).

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

VIII. Phương trình mặt cầu:

- Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

- Dạng 2: Phương trình x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với điều kiện a2 + b2 + c2 - d = 0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Điều kiện mặt cầu S(I,R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: d(I,(P)) = R

Các dạng toán viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.

Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:

(S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Bán kính R = IM

Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất .

– Bán kính R = IA = Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất .

Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):

– Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (S).

– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (S), ta được 4 phương trình.

– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S).

Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Bán kính: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

IX.Phương trình của đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có VTCP Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất thì d có

Phương trình tham số là: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Phương trình chính là: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất (nếu a, b, c đều khác 0)

Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

Dạng 1: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có VTCP Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 3: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và song song với đường thẳng Δ cho trước:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 4: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Tìm toạ độ một điểm M ∈ d: bằng cách giải hệ phương trình Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất (với việc chọn giá trị cho một ẩn, thường cho )

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 6: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm trong mp(P)) và vuông góc với đường thằng Δ :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 8: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Tìm các giao điểm A = d1 ∩ (P), B = d2 ∩ (P).

– Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Dạng 9: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) , vuông góc và cắt đường thẳng Δ:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

d qua M0 và hình chiếu H của M0 trên đường thẳng Δ

Dạng 10: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và cắt hai đường thẳng d1, d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Gọi (P) = (M0, d1) , (Q) = (M0, d2) .

– Khi đó d = (P) ∩ (Q). Do đó, VTCP của d là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất .

Dạng 11: d song song với Δ và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 song song Δ: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d2 song song Δ: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Khi đó d = (P) ∩ (Q).

Dạng 12: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhấtCông thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất chéo nhau:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Giả sử d cắt tại I, d cắt tại J.

– Vì Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ,

– Giải hệ phương trình: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ta tìm được t1, t2 từ đó suy ra tọa độ I, J.

– d chính là đường thẳng qua 2 điểm I, J.

Dạng 13: d là hình chiếu của đường thẳng Δ lên mặt phẳng (P):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa Δ và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Khi đó d = (P) ∩ (Q).

Dạng 14: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1.

– Tìm giao điểm N của (P) và d2

– Khi đó d chính là đường thằng qua 2 điểm MN

X. Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng.

- Tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) bằng cách: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Khi đó: H = d ∩ (P)

(+) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta có H là trung điểm của MM’ nên:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Tìm hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d bằng cách:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Khi đó: H = d ∩ (P)

(+) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H là trung điểm của MM’ nên:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng (P) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (Q) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

(P), (Q) cắt nhau ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2

(P) // (Q) ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

(P) ≡ (Q) ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Đặc biệt: (P) ⊥ (Q) Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

XII. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng:

Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 1 phương trình bậc nhất ẩn t:

A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0 (*)

- TH1: (*) có đúng một nghiệm thì d cắt (P)

- TH2: (*) vô nghiệm thì d // (P)

- TH3: (*) có vô số nghiệm thì d ⊂ (P)

Đặc biệt: d ⊥ (P) ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất cùng phương Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

XIII. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

d1 qua A(x1;y1;z1) có VTCP Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

d2 qua A(x2;y2;z2) có VTCP Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+ d1 chéo d2Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+ d1 cắt d2Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất hoặc hệ phương trình Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất có 1 nghiệm.

+ d1 // d2Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+ d1 ≡ d2Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Đặc biệt: d1 ⊥ d2Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

XIV. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:

Cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.

+ d(I,(α)) > R thì (α) và (S) không có điểm chung.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+ d(I,(α)) = R thì (α) và (S) có 1 điểm chung H duy nhất. Khi đó ta nói (α) tiếp xúc với (S) tại H. H được gọi là tiếp điểm, (P) được gọi là tiếp diện của (S) tại H.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu của I trên mp(α).

+ d(I,(α)) < R thì (α) và (S) cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường tròn (C). Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của I trên mp(α), bán kính của (C) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất với d(I,(α)) .

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

XV. Khoảng cách:

+) Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thằng Δ :

- Cách 1: Giả sử đường thẳng Δ đi qua M0 và có vectơ chỉ phương là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất . Ta có:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Cách 2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng Δ .

– Khi đó d(M,Δ) = MH

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Δ1 và Δ2 : Bằng khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng Δ1 đến đường thẳng Δ2

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

d(Δ1, Δ2) = d(M1, Δ2) = MH

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ1 và Δ2 :

- Cách 1: Giả sử đường thẳng Δ1 qua điểm M1 và có vectơ chỉ phương là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất , đường thẳng Δ2 qua điểm M2 và có vectơ chỉ phương là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất . Ta có:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ1 và Δ2 bằng khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng kia.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa Δ1 và song song với Δ2 bằng cách:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Khi đó: d(Δ1, Δ2) = d(M2, (α))

Tải xuống

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 6 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 6 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Tiếng Anh lớp 6 - cô Tuyết Nhung

4.5 (243)

799,000đs

399,000 VNĐ

Toán 6 - Cô Diệu Linh

4.5 (243)

799,000đ

399,000 VNĐ

Văn 6 - Cô Ngọc Anh

4.5 (243)

799,000đ

399,000 VNĐ

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k9: fb.com/groups/hoctap2k9/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài 500 Công thức, Định Lí, Định nghĩa Toán, Vật Lí, Hóa học, Sinh học được biên soạn bám sát nội dung chương trình học các cấp.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.