Công thức giải nhanh Toán 12 Hình học chi tiết nhất

---

---

Tóm tắt Công thức giải nhanh Toán 12 Hình học chi tiết nhất chương trình sách mới Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều. Hi vọng loạt bài này sẽ như là cuốn sổ tay công thức giúp bạn học tốt môn Toán 12 hơn.

Công thức giải nhanh Toán 12 Hình học chi tiết nhất

Chủ đề: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

• Công thức tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

• Công thức tích của một số với một vectơ trong không gian

• Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

• Công thức tọa độ của một điểm

• Công thức tọa độ của một vectơ

• Biểu thức tọa độ của phép cộng, trừ, nhân một số với vectơ

• Công thức tọa độ trung điểm

• Công thức tọa độ trọng tâm tam giác

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

Chủ đề: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

• Công thức viết phương trình mặt phẳng

• Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

• Công thức viết phương trình đường thẳng

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức viết phương trình mặt cầu

• Công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu

---

---

---

Lưu trữ: Công thức Toán 12 Hình học (sách cũ)

• Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

• Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

• Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

I. Hình chóp – khối chóp:

Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích dáy nhân với chiều cao

Một số lưu ý khi tính diện tích đa giác:

- Trong tam giác ABC, nếu M là điểm tùy ý trên cạnh BC ta có:

- Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

- Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành 4 phần có diện tích bằng nhau.

II. Các khối hình chóp thường gặp:

1) Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và tất cả các cạnh bên đều bằng nhau.

Tính chất của hình chóp đều:

- Đường cao đi qua tâm của đáy.

- Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các góc bằng nhau.

- Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.

Chú ý:

- Tứ giác đều là hình vuông, ta thường vẽ là hình bình hành có tâm là giao điểm của 2 đường chéo.

- Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác thường có tâm là giao điểm hai đường trung tuyến.

- Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

2) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

Chú ý: Giả thiết bài toán có thể cho một trong hai dạng sau:

+) SA ⊥ (ABCD)

+) (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD)

Ta có:

Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó”

3) Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: thì đường cao của mặt bên đó sẽ là đường cao của hình chóp.

Chú ý:

+) Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia”

+) Đường cao SH của ΔSAB chính là đường cao của hình chóp nên vẽ SH thẳng đứng.

+) Thường bài toán cho “ΔSAB là tam giác đều là nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy” ta trình bày như sau:

- Gọi H là trung điểm AB

- Vì ΔSAB đều ⇒ SH là đường cao của ΔSAB ⇒ SH ⊥ AB

Ta có:

III. Tỉ số thể tích của khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S.

Ta có: (Công thức này chỉ được dùng cho khối chóp tam giác)

Các trường hợp đặc biệt:

+) C ≡ C'

+) C ≡ C' , B ≡ B'

IV. Ứng dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng:

Ta có:

Tương tự:

Trong đó: V_A.SBC = V_B.SAC = V_C.SAB = V_S.ABC

V. Hình lăng trụ - khối lăng trụ:

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao

V = S_day x cao

Tính chất của hình lăng trụ:

+) Các cạnh bên song song và bằng nhau.

+) Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.

+) Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hai đa giác bằng nhau, có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.

Đối với hình lăng trụ đứng:

+) Các cạnh bên cũng là đường cao.

+) Các mặt bên là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

2) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Đối với lăng trụ đều, các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau.

3) Hình hộp:

+) Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

+) Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy.

+) Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Thể tích hình hộp chữ nhật (a, b, c: 3 kích thước)

+) Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

Thể tích hình lập phương V = a³ (a: độ dài cạnh)

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

I. Mặt cầu – Khối cầu:

1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R được ký hiệu S(I;R) là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một khoảng R không đổi.

Mặt cầu cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối cầu.

2) Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:

- Diện tích mặt cầu: S = 4πR²

- Thể tích khối cầu:

II. Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ:

1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB khi đó cạnh CD vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ.

+) Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau, hình tạo thành bởi mặt trụ và hai hình tròn này được gọi hình trụ. Hai hình tròn này được gọi là hai đáy của hình trụ.

+) Cạnh CD được gọi là đường sinh của hình trụ.

+) Cạnh AB được gọi là trục của hình trụ.

+) Khoảng cách giữa hai đáy được gọi là chiều cao của hình trụ.

+) Hình trụ cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối trụ.

2) Diện tích mặt trụ và thể tích khối trụ:

+) Diện tích xung quanh mặt trụ: S_xq = 2πrl (l : độ dài đường sinh, r : bán kính đáy )

+) Diện tích toàn phần hình trụ: S_tp = S_xq + 2S_day = 2πrl + 2πr²

+) Thể tích khối trụ: V = S_day.cao = πr²h (h : chiều cao)

III. Mặt nón – Hình nón - Khối nón:

1) Định nghĩa: Cho tam giác OIM vuông tại I quay quanh cạnh IO khi đó cạnh OM vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón.

+) Cạnh IM vạch ra một hình tròn, hình tạo thành bởi mặt nón và hình tròn này được gọi là hình nón. Hình tròn này được gọi là mặt đáy của hình nón.

+) Cạnh OM được gọi là đường sinh của hình nón.

+) Cạnh OI được gọi là trục của hình nón. Độ dài đoạn OI được gọi là chiều cao của hình nón.

+) Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.

2) Diện tích mặt nón và thể tích khối nón:

+) Diện tích xung quanh mặt nón: S_xq = πrl ( l : độ dài đường sinh, r : bán kính đáy )

+) Diện tích toàn phần hình nón: S_tp = S_xq + S_day = πrl + πr²

+) Thể tích khối nón: ( h : chiều cao)

IV. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp thường gặp

Hình 1: Hình chóp S.ABC có ΔABC vuông tại B, SA ⊥ (ABC) .

Cách đặc biệt

Gọi I là trung điểm của SC.

ΔSAC vuông tại A ⇒ IA = IS = IC (1)

⇒ ΔSBC vuông tại B ⇒ IB = IS = IC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:

Hình 2: Hình chóp S.ABC có ΔABC vuông tại A, SA ⊥ (ABC) .

Gọi O là trung điểm của BC ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC .

Qua O dựng đường thẳng Δ vuông góc với mp(ABC) ⇒ Δ là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC .

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ Δ

Ta có:

⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:

Hình 3: Hình chóp S.ABC có ΔABC là tam giác đều, SA ⊥ (ABC).

Gọi J là trung điểm BC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Qua O dựng đường thẳng Δ vuông góc với mp(ABC) ⇒ Δ là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC .

Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ Δ

Ta có:

⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:

Hình 4: Hình chóp đều S.ABC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC ⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ SO

Ta có:

⇒ IA = IB = IC = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: R = IS

Cách tính bán kính:

ΔSMI # ΔSOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)

Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông (hoặc hình chữ nhật), SA ⊥ (ABCD)

Cách đặc biệt

Gọi I là trung điểm của SC.

ΔSAC vuông tại A ⇒ IA = IS = IC (1)

⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SB

⇒ ΔSBC vuông tại B ⇒ IB = IS = IC (2)

⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD

⇒ ΔSCD vuông tại D ⇒ ID = IS = IC (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ IA = IB = IC = ID = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính:

Hình 6: Hình chóp đều S.ABCD.

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo ⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I = d ∩ SO

Ta có:

⇒ IA = IB = IC = ID = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: R = IS

Cách tính bán kính:

ΔSMI # ΔSOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

I. Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau có véctơ đơn vị lần lượt là:

II. Tọa độ của vectơ:

Đặc biệt:

III. Tọa độ của điểm: M(x;y;z) ⇔ = (x;y;z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Đặc biệt:

M ∈ (Oxy) ⇔ z_M = 0

M ∈ (Oyz) ⇔ x_M = 0

M ∈ (Oxz) ⇔ y_M = 0

M ∈ Ox ⇔ y_M = z_M = 0

M ∈ Oy ⇔ x_M = z_M = 0

M ∈ Oz ⇔ x_M = y_M = 0

Hình chiếu vuông góc của điểm M(x_M;y_M;z_M) lên:

Trục Ox là: M₁(x_M;0;0)

Trục Oy là: M₂(0;y_M;0)

Trục Oz là: M₃(0;0;z_M)

mp(Oxy) là: M₁₂(x_M;y_M;0)

mp(Oxz) là: M₁₃(x_M;0;z_M)

mp(Oyz) là: M₂₃(0;y_M;z_M)

IV. Các công thức về tọa độ: Nếu thì:

“Hoành bằng hoành, tung bằng tung, cao bằng cao”

cùng phương ⇔ tồn tại một số k sao cho:

Tọa độ vectơ

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

V. Tích vô hướng của hai vectơ:

+) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Nếu thì: “Hoành nhân hoành+ tung nhân tung + cao nhân cao”

+) Ứng dụng:

Độ dài vectơ:

Độ dài đoạn thẳng AB:

Góc giữa hai vectơ:

Điều kiện hai vectơ vuông góc:

VI. Tích có hướng của hai vectơ:

+) Định nghĩa: Cho hai vectơ . Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ được xác định như sau:

Quy tắc: 23-31-12

+) Cách tính tích có hướng của hai vectơ bằng máy tính

1. Máy 570VN PLUS

ON → MODE → 8 → 1 → 1: Nhập tọa độ Vectơ

AC → MODE → 8 → 2 → 1: Nhập tọa độ Vectơ

AC → SHIFT → 5 → 3 → X → SHIFT → 5 → 4 → =

2. Máy 570ES PLUS

ON → MODE → 8 → 1 → 1: Nhập tọa độ Vectơ

AC → SHIFT → 5 → 2 → 2 → 1: Nhập tọa độ Vectơ

AC → SHIFT → 5 → 3 → X → SHIFT → 5 → 4 =

3. Máy 570MS

ON → SHIFT → 5 → 1 → 1 → 3: Nhập tọa độ Vectơ

AC → SHIFT → 5 → 1 → 2 → 3: Nhập tọa độ Vectơ

AC → SHIFT → 5 → 3 → 1 → X → SHIFT → 5 → 3 → 2 → =

+) Tính chất của tích có hướng:

- Nếu

- Hai vectơ và cùng phương với nhau ⇔

- Ba vectơ , và đồng phẳng với nhau ⇔ = 0

( được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ)

+) Ứng dụng của tích có hướng:

- A, B, C thẳng hàng ⇔

- A, B, C, D đồng phẳng ⇔ = 0

Suy ra A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng) ⇔ ≠ 0

- Diện tích hình bình hành ABCD:

- Diện tích tam giác ABC:

- Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D':

- Thể tích tứ diện ABCD:

VII. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi qua M₀(x₀;y₀;z₀) và có VTPT là:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

- Nếu (α) có phương trình Ax + Bx + Cz + D = 0 thì (α) có VTPT là

- Hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt này cũng là VTPT của mặt kia, hai mặt phẳng vuông góc nhau thì VTPT của mặt này là VTCP của mặt kia.

- Khoảng cách từ điểm M₀(x₀;y₀;z₀) đến mặt phẳng :

(α) : Ax + Bx + Cz + D = 0 : d(M₀);(α) =

- Đặc biệt:

Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó.

Dạng 1: (α) đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) có VTPT :

(α): A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Dạng 2: (α) đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) có cặp VTCP , :

Khi đó VTPT của (α) là .

Dạng 3: (α) đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0:

Khi đó VNPT .

Dạng 4: (α) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

Khi đó VTPT của (α) là

Dạng 5: (α) là mặt phẳng trung trực của MN:

(α):

Dạng 6: (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ):

Khi đó VTPT của (α) là

Dạng 7: (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H ((α) là tiếp diện của mặt cầu (S) tại H):

– Tìm tâm I của mặt cầu (S)

–

Dạng 8: (α) song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S):

– Vì (α) song song với (β) nên phương trình mp(α) có dạng Ax + By + Cz + m = 0 (m ≠ D)

– Vì (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I,(α)) = R → Giải phương trình này ta tìm được m .

Dạng 9: (α) đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và vuông góc với đường thẳng AB:

Khi đó VTPT của (α) là

Dạng 10: (α) đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và vuông góc với đường thẳng :

Khi đó VTPT của (α) là

Dạng 11: (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng d₁, d₂ chéo nhau (hoặc cắt nhau):

Dạng 12: (α) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d₂ (d₁, d₂ chéo nhau):

Dạng 13: (α) chứa đường thẳng d và 1 điểm M không nằm trên d:

- Trên d lấy 1 điểm A

-

Dạng 14: (α) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d₁, d₂:

– Lấy một điểm M thuộc d₁ hoặc d₂ ⇒ M ∈ (α).

–

Dạng 15: (α) chứa 2 đường thẳng song song d₁, d₂ :

– Lấy M₁ thuộc d₁ và M₂ thuộc d₂

–

Dạng 16: (α) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (β):

– Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α).

–

VIII. Phương trình mặt cầu:

- Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

- Dạng 2: Phương trình x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với điều kiện a² + b² + c² - d = 0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính

- Điều kiện mặt cầu S(I,R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: d(I,(P)) = R

Các dạng toán viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.

Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:

(S): (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M:

– Bán kính R = IM

Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB:

– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: .

– Bán kính R = IA = .

Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):

– Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (S).

– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (S), ta được 4 phương trình.

– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S).

Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 :

– Bán kính:

IX.Phương trình của đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và có VTCP thì d có

Phương trình tham số là:

Phương trình chính là: (nếu a, b, c đều khác 0)

Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

Dạng 1: d đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và có VTCP :

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:

Dạng 3: d đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và song song với đường thẳng Δ cho trước:

Dạng 4: d đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:

Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):

– Tìm toạ độ một điểm M ∈ d: bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho một ẩn, thường cho )

–

Dạng 6: d đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và vuông góc với hai đường thẳng d₁, d₂:

Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm trong mp(P)) và vuông góc với đường thằng Δ :

Dạng 8: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂:

– Tìm các giao điểm A = d₁ ∩ (P), B = d₂ ∩ (P).

– Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Dạng 9: d đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) , vuông góc và cắt đường thẳng Δ:

d qua M₀ và hình chiếu H của M₀ trên đường thẳng Δ

Dạng 10: d đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và cắt hai đường thẳng d₁, d₂:

– Gọi (P) = (M₀, d₁) , (Q) = (M₀, d₂) .

– Khi đó d = (P) ∩ (Q). Do đó, VTCP của d là .

Dạng 11: d song song với Δ và cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂:

– Gọi (P) là mặt phẳng chứa d₁ song song Δ:

– Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d₂ song song Δ:

– Khi đó d = (P) ∩ (Q).

Dạng 12: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng và chéo nhau:

– Giả sử d cắt tại I, d cắt tại J.

– Vì ,

– Giải hệ phương trình: ta tìm được t₁, t₂ từ đó suy ra tọa độ I, J.

– d chính là đường thẳng qua 2 điểm I, J.

Dạng 13: d là hình chiếu của đường thẳng Δ lên mặt phẳng (P):

– Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa Δ và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:

– Khi đó d = (P) ∩ (Q).

Dạng 14: d đi qua điểm M, vuông góc với d₁ và cắt d₂:

– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d₁.

– Tìm giao điểm N của (P) và d₂

– Khi đó d chính là đường thằng qua 2 điểm MN

X. Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng.

- Tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):

– Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) bằng cách:

– Khi đó: H = d ∩ (P)

(+) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta có H là trung điểm của MM’ nên:

+) Tìm hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d:

– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d bằng cách:

– Khi đó: H = d ∩ (P)

(+) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H là trung điểm của MM’ nên:

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng (P) : A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (Q) : A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

(P), (Q) cắt nhau ⇔ A₁ : B₁ : C₁ ≠ A₂ : B₂ : C₂

(P) // (Q) ⇔

(P) ≡ (Q) ⇔

Đặc biệt: (P) ⊥ (Q) ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

XII. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng:

Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:

Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 1 phương trình bậc nhất ẩn t:

A(x₀ + at) + B(y₀ + bt) + C(z₀ + ct) + D = 0 (*)

- TH1: (*) có đúng một nghiệm thì d cắt (P)

- TH2: (*) vô nghiệm thì d // (P)

- TH3: (*) có vô số nghiệm thì d ⊂ (P)

Đặc biệt: d ⊥ (P) ⇔ cùng phương

XIII. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng

d₁ qua A(x₁;y₁;z₁) có VTCP

d₂ qua A(x₂;y₂;z₂) có VTCP

+ d₁ chéo d₂ ⇔

+ d₁ cắt d₂ ⇔ hoặc hệ phương trình có 1 nghiệm.

+ d₁ // d₂ ⇔

+ d₁ ≡ d₂ ⇔

Đặc biệt: d₁ ⊥ d₂ ⇔ ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

XIV. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:

Cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.

+ d(I,(α)) > R thì (α) và (S) không có điểm chung.

+ d(I,(α)) = R thì (α) và (S) có 1 điểm chung H duy nhất. Khi đó ta nói (α) tiếp xúc với (S) tại H. H được gọi là tiếp điểm, (P) được gọi là tiếp diện của (S) tại H.

Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu của I trên mp(α).

+ d(I,(α)) < R thì (α) và (S) cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường tròn (C). Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của I trên mp(α), bán kính của (C) là với d(I,(α)) .

XV. Khoảng cách:

+) Khoảng cách từ điểm M₀(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0

+) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

+) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.

+) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thằng Δ :

- Cách 1: Giả sử đường thẳng Δ đi qua M₀ và có vectơ chỉ phương là . Ta có:

- Cách 2:

– Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng Δ .

– Khi đó d(M,Δ) = MH

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Δ₁ và Δ₂ : Bằng khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng Δ₁ đến đường thẳng Δ₂

d(Δ₁, Δ₂) = d(M₁, Δ₂) = MH

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ₁ và Δ₂ :

- Cách 1: Giả sử đường thẳng Δ₁ qua điểm M₁ và có vectơ chỉ phương là , đường thẳng Δ₂ qua điểm M₂ và có vectơ chỉ phương là . Ta có:

- Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ₁ và Δ₂ bằng khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng kia.

– Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa Δ₁ và song song với Δ₂ bằng cách:

– Khi đó: d(Δ₁, Δ₂) = d(M₂, (α))

---

---

---