Quy tắc nhân lớp 10 (hay, chi tiết)

Bài viết Quy tắc nhân lớp 10 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Quy tắc nhân từ đó học tốt môn Toán.

Quy tắc nhân lớp 10 (hay, chi tiết)

1. Công thức

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp:

⦁ Hành động thứ nhất có m cách thực hiện;

⦁ Ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai.

Khi đó, công việc đó có m.n cách hoàn thành.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

Hướng dẫn giải:

Để chọn một chiếc đồng hồ, ta có:

– Có 3 cách chọn mặt.

– Có 4 cách chọn dây.

Vậy theo qui tắc nhân ta có 3 $\times$ 4 = 12 cách.

Ví dụ 2. Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra 45 phút môn Toán phần lượng giác. Trong ngân hàng câu hỏi có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu. Để ra đề kiểm tra 45 phút gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo viên có bao nhiêu cách ra đề?

Hướng dẫn giải:

Vì đề kiểm tra có 5 câu và bao gồm 5 chủ đề nên để thành lập đề kiểm tra mỗi chủ đề ta lấy một câu hỏi.

Chọn 1 câu hỏi trong chủ đề 1 có 4 cách chọn.

Tương tự đối với các chủ đề 2; 3; 4; 5.

Nên số cách chọn đề ra là: 4.4.4.4.4 = 4⁵ cách.

Ví dụ 3. Cho các số tự nhiên: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

a) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?

c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau?

Hướng dẫn giải:

a) Gọi số tự nhiên cần lập là $\overline{abcde},$ (a $\ne$ 0).

a có 9 cách chọn.

b có 9 cách chọn.

c có 9 cách chọn.

d có 9 cách chọn.

e có 9 cách chọn.

Nên số các số tự nhiên có 5 chữ số được thành lập từ các số trên là 9.9.9.9.9 = 9⁵ cách.

b) Gọi số tự nhiên cần lập là $\overline{abcde},$ (a $\ne$ 0).

a có 9 cách chọn.

b có 8 cách chọn.

c có 7 cách chọn.

d có 6 cách chọn.

e có 5 cách chọn.

Nên số các số tự nhiên có 5 chữ số được thành lập từ các số trên là 9.8.7.6.5 = 15 120 cách.

c) Gọi số tự nhiên cần lập là $\overline{abcde},$ (a $\ne$0).

e có 4 cách chọn.

d có 8 cách chọn.

c có 7 cách chọn.

b có 6 cách chọn.

a có 5 cách chọn.

Nên số các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau là 4.8.7.6.5 = 6 720 cách.

Ví dụ 4. Cho các số tự nhiên sau: 1, 2, 5, 6, 7, 9.

a) Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau?

b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5?

c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2?

Hướng dẫn giải:

a) Gọi số cần lập là $\overline{abc}$, (a ¹ 0).

Vì số cần lập là số lẻ nên c có thể là 1; 5; 7; 9 Þ c có 4 cách chọn.

Vì a; b; c khác nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn.

Vậy số số lẻ có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là 4.5.4 = 80 số.

b) Gọi số cần lập là $\overline{abc}$, (a ¹ 0).

Vì số cần lập là số chia hết cho 5 nên c có thể là có 1 cách chọn.

Vì a; b; c khác nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn.

Vậy số số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 được thành lập từ các số trên là 5.4 = 20 số.

c) Các số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2.

TH1: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 1 chữ số 2.

– Số 2: có 3 vị trí đặt, 5 số còn lại mỗi số có 2 vị trí đặt.

– Có 3.5.5 số có 3 chữ số có mặt 1 chữ số 2.

TH2: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 2 chữ số 2.

– Số 2: có 3 vị trí đặt, 5 số còn lại mỗi số có 1 vị trí đặt.

– Có 3.5 số có 3 chữ số có mặt 2 chữ số 2.

TH3: Các số tự nhiên có 3 chữ số chỉ có mặt 3 chữ số 2, suy ra có 1 số: 222.

Vậy số số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 thành lập từ các số đã cho là:

3.5.5 + 3.5 + 1 = 91 số.

Ví dụ 5. Cho các số tự nhiên 0, 2, 3, 5, 6, 9.

a) Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?

b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3?

c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601?

Hướng dẫn giải:

a) Gọi số cần lập là $\overline{abc}$ (a $\ne$ 0).

Số các số chẵn có 3 chữ số khác nhau là:

TH1: c = 0;

 a có 5 cách chọn (a $\ne$ 0);

 b có 4 cách chon (b $\ne$ a $\ne$ c).

Þ Có 5.4 = 20 số.

TH2: c $\ne$ 0 $\Rightarrow$ c $\in$ {2; 6} $\Rightarrow$ c có 2 cách chọn;

 a có 4 cách chọn (a $\ne$ c, a $\ne$ 0);

 b có 4 cách chọn (b $\ne$ a $\ne$ c).

Þ Có 2.4.4 = 32 số.

Vậy có tất cả 20 + 32 = 52 số chẵn có 2 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số đã cho.

b) Ta phân các số trên thành 2 nhóm:

Nhóm 1 gồm các số {2; 5}.

Nhóm 2 gồm các số {0; 3; 6; 9}.

Gọi số cần lập là $\overline{abc}$ thỏa mãn $\overline{abc}\mathrm{⋮}3\iff (a+b+c)\mathrm{⋮}3$ và a; b; c sẽ không đồng thời thuộc cả hai.

+ Số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 được thành lập từ nhóm 1 là:

⦁ Cả 3 chữ số giống nhau: 222, 555.

⦁ Có 1 chữ số 2 và 2 chữ số 5: 255, 552, 525 (có 3 cách chọn vị trí để chữ số 5 có 1 cách chọn để vị trí 2 chữ số 2, suy ra có 3 số).

⦁ Có 1 chữ số 5 và 2 chữ số 2: 522, 225, 252

Do đó từ nhóm 1 ta thành lập được 2 + 3 + 3 = 8 số chia hết cho 3.

+ Số các số chia hết cho 3 lập được từ nhóm thứ 2 là:

⦁ Có 3 cách chọn chữ số a.

⦁ Có 4 cách chọn chữ số b.

⦁ Có 4 cách chọn chữ số c.

Do đó có tất cả 3.4.4 = 48 số có 3 chữ số được thành lập từ nhóm 2 chia hết cho 3.

Vậy số các số có 3 chữ số chia hết cho 3 được thành lập từ các chữ số đã cho là:

48 + 8 = 56 số.

c) Gọi số cần lập là $\overline{abc}$ thỏa mãn $\overline{abc}\mathrm{ }>600$

Vì $\overline{abc}\mathrm{ }>600$ nên a chỉ có 2 cách chọn (a = 6 hoặc a = 9).

Chữ số b có 6 cách chọn, chữ số c có 6 cách chọn.

Þ Có 6.6.2 = 72 số có 3 chữ số lớn hơn 600.

Trong 72 số trên có 1 số là: 600 < 601.

Vậy có tất cả 71 số lớn hơn 601 được thành lập từ các số trên.

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.

Ví dụ 6. Có 3 bạn nữ và 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào một hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ nhau?

Hướng dẫn giải:

Vị trí thứ nhất có 6 cách lựa chọn.

Vị trí thứ hai có 3 cách lựa chọn (nếu vị trí thứ nhất là nam thì bắt buộc vị trí thứ 2 phải chọn 1 trong 3 bạn nữ và ngược lại).

Vị trí thứ ba có 2 cách lựa chọn.

Vị trí thứ 4 có 2 cách lựa chọn.

Vị trí thứ 5 có 1 cách lựa chọn.

Vị trí thứ 6 chỉ có 1 cách lựa chọn.

Nên có 6.5.4.3.2.1 = 72 cách.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiều cách chọn bộ “quần–áo–cà vạt” khác nhau?

Bài 2. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập.

Bài 3. Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu.

Bài 4. Một đội học sinh giỏi của trường THPT, gồm 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 3 học sinh khối 10. Số cách chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em?

Bài 5. An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình tới nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?

Bài 6. Số các số tự nhiên chẵn, gồm bốn chữ số khác nhau đôi một và không tận cùng bằng 0 là bao nhiêu?

Bài 7. Từ các chữ số 1,2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên bé hơn 100?

Bài 8. Có 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 7 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số?

Bài 9. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ?

 

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Quy tắc cộng
• Công thức tính số hoán vị
• Công thức tính số chỉnh hợp
• Công thức tính số tổ hợp
• Công thức khai triển nhị thức Newton

---