Định lí về dấu của tam thức bậc hai lớp 10 (hay, chi tiết)

Bài viết Định lí về dấu của tam thức bậc hai lớp 10 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Định lí về dấu của tam thức bậc hai từ đó học tốt môn Toán.

Định lí về dấu của tam thức bậc hai lớp 10 (hay, chi tiết)

1. Công thức

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a $\ne$ 0), D = b² – 4ac.

+ Nếu D < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x $\in$ℝ.

+ Nếu D = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\in R\backslash \left\{\frac{-b}{2a}\right\}.$

+ Nếu D > 0 thì f(x) có hai nghiệm x₁, x₂ (x₁ < x₂). Khi đó:

⦁ f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (-$\infty$; x₁) và (x₂; +$\infty$);

⦁ f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x­₁; x₂).

Nhận xét: Trong định lí, có thể thay biệt thức D = b² – 4ac bằng biệt thức thu gọn:

∆’ = b’² – ac với b = 2b’.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 3x² – x + 1;

b) f(x) = 4x² + 4x + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 3x² – x + 1 có D = –11 < 0 và hệ số a = 3 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x $\in$ℝ.

b) Tam thức bậc hai f(x) = 4x² + 4x + 1 có D = 0, nghiệm kép $x_0=-\frac{1}{2}$ và hệ số a = 4 > 0 nên f(x) > 0 với mọi $x\in R\backslash \{-\frac{1}{2}\}$.

Ví dụ 2. Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² – 3x + 2.

Hướng dẫn giải:

Tam thức bậc hai f(x) = x² – 3x + 2 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1, x₂ = 2 và hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Ví dụ 3. Xét dấu của các biểu thức sau:

a) x³ – 5x + 2;

b) $x-\frac{x^2-x+6}{-x^2+3x+4}$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: x³ – 5x + 2 = (x – 2)(x² + 2x – 1)

⦁ x – 2 = 0 $\iff$ x = 2;

⦁ x² + 2x – 1 = 0 $\iff$ $x=-1\pm \sqrt{2}$.

Bảng xét dấu:

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét dấu của các tam thức sau:

a) 3x² – 2x + 1;

b) –x² + 4x + 5.

c) –x² + 5x – 6.

d) 2x² + 2x +5.

Bài 2.Xét dấu biểu thức $f\left(x\right)=\frac{2x^2-x-1}{x^2-4}.$

Bài 3.Tìm x để biểu thức f(x) – (3x – x²)(x² – 6x + 9) nhận giá trị dương.

Bài 4.Xét dấu biểu thức $P\left(x\right)=x-\frac{x^2-x+6}{-x^2+3x+4}$.

Bài 5. Tìm x đểf(x) = x(5x + 2) – x(x² + 6) không dương.

Bài 6.Tìm số nguyên lớn nhất của x để đa thức $f\left(x\right)=\frac{x+4}{x^2-9}-\frac{2}{x+3}-\frac{4x}{3x-x^2}$luôn âm.

Bài 7.Tìm tất cả các số thực x để biểu thức $P\left(x\right)=\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}\ge 0$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Quy tắc cộng
• Quy tắc nhân
• Công thức tính số hoán vị
• Công thức tính số chỉnh hợp
• Công thức tính số tổ hợp

---