Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất - Toán lớp 11



Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất

Bài viết Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian Toán lớp 11 hay nhất gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập minh họa áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian.

1. Lý thuyết

a) Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

b) Tính chất

Định lý 1: 

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

Định lý 2: 

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Tức là: Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

Hệ quả (của định lý 2): 

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Tức là: Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

Định lý 3: 

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau.

Tức là: Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

2. Công thức

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

- Cách 1: Chứng minh chúng đồng phằng, sau đó áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng:

Sử dụng tính chất đường trung bình, Định lý Ta-lét đảo, cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.

- Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

- Cách 3: Áp dụng định lý giao tuyến song song

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng IJ // AB, từ đó suy ra IJ // CD.

Lời giải

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

+ Xét tam giác SAB có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB 

Nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB. 

Từ đó suy ra IJ // AB.

+  Ta có Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD.

a) Chứng minh rằng MN // BC.

b) Tứ giác MNJI là hình gì. Tìm điều kiện của M, N để tứ giác MNJI là hình bình hành.

Lời giải

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

a) Xét tam giác ABC có: Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11, từ đó suy ra MN // BC (Định lý Ta-lét đảo).

b) + Xét tam giác BCD có I, J lần lượt là trung điểm của BD, CD 

Nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD. 

Từ đó suy ra IJ // BC và Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

+ Ta có: Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

Vậy tứ giác MNJI là hình thang.

+ Để hình thang MNJI là hình bình hành thì Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

Xét tam giác ABC có MN // BC nên Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

Do đó M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. IJ song song với CD.                               B. IJ song song với AB.

C. IJ chéo CD.                                             D. IJ cắt AB.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M, N, P, Q, R, T lần lượt là trung điểm AC, BD, BC, CD, SA, SD. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?

A. MP và RT.             B. MQ và RT.            C. MN và RT.            D. PQ và RT.

Đáp án 1A, 2B.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official




Đề thi, giáo án các lớp các môn học
Tài liệu giáo viên