Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất - Toán lớp 11



Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất

Bài viết Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song Toán lớp 11 hay nhất gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập minh họa áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song.

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa

Hai mặt phẳng (α), (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Tức là: (α) // (β) ⇔ (α) ∩ (β) = ∅

Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

b) Tính chất

Định lý 1: 

Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) // (β).

Tức là: Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11 

Định lý 2:

Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

Hệ quả 1:

Nếu d // (α) thì trong (α) có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (α).

Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

Hệ quả 2:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song.

Tức là: Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

Hệ quả 3:

Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (α) đều nằm trong mặt phẳng qua A song song với (α).

Tức là: Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11 

Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

Định lý 3:

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến đó song song với nhau.

Tức là: Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11 

Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

Hệ quả: 

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau

Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11 

Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

2. Công thức

Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song

Dựa vào định lý 1 và hệ quả như sau:

Định lý 1: Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11 

Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

Hệ quả 2 (của định lý 1): Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh (OMN) // (SBC).

Lời giải

Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

+ Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD

+ Xét tam giác SBD có N, O là trung điểm của SD và BD

Nên NO là đường trung bình của tam giác SBD.

Do đó NO // SB mà SB ⊂ (SBC) nên NO // (SBC)

+ Tương tự MO // SC (Vì MO là đường trung bình của tam giác SAC)

Mà SB ⊂ (SBC) nên MO // (SBC)

Ta có: Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC.

a) Chứng minh (MNP) // (ABC).

b) Gọi H, G, L lần lượt là trọng tâm tam giác SAB, SAC, SBC. Chứng minh (HGL) // (MNP).

Lời giải

Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

a) Ta có

MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN // AB mà AB ⊂ (ABC) nên MN // (ABC)

NP là đường trung bình của tam giác SBC nên NP // BC mà BC ⊂ (ABC) nên NP // (ABC)

Ta có: Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11

b) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

Vì H, G, L lần lượt là trọng tâm tam giác SAB, SAC, SBC nên Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11 

Xét tam giác SIJ có Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11 nên HG // IJ mà IJ ⊂ (ABC) nên HG // (ABC)

Tương tự HL // IK mà IJ ⊂ (ABC) nên HL // (ABC)

Ta có: Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song hay nhất | Toán lớp 11 

Lại có (MNP) // (ABC) nên (HGL) // (MNP).

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SA. Mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng nào dưới đây:

A. (MNP) // (SBC)                                      B. (MNP) // (SCD)

C. (MNP) // (SBD)                                      D. (MNP) // (SAC)

Câu 2. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, A’B’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. (AHC’) // (MB’C)                                   B. (AHC’) // (BB’C’C)

C. (AHC’) // (MB’C’)                                 D. (AHC’) // (MNB)

Đáp án 1C, 2A.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official




Đề thi, giáo án các lớp các môn học
Tài liệu giáo viên