Các công thức, tính chất về tích của một số với một vectơ (hay, chi tiết)

Bài viết Các công thức, tính chất về tích của một số với một vectơ chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Các công thức, tính chất về tích của một số với một vectơ từ đó học tốt môn Toán.

Các công thức, tính chất về tích của một số với một vectơ (hay, chi tiết)

1. Công thức

+) Cho số a khác 0 và vectơ $\overrightarrow{a}$khác $\overrightarrow{0}$. Tích của số k với vectơ $\overrightarrow{a}$ là một vectơ, kí hiệu là k$\overrightarrow{a}$.

+) Vectơ k$\overrightarrow{a}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$nếu k > 0, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$nếu k < 0 và có độ dài |k$\overrightarrow{a}$| = |k|.|$\overrightarrow{a}$|.

+) Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$bất kì, mọi số thực h, k, ta có:

k($\overrightarrow{a}$+ $\overrightarrow{b}$) = k$\overrightarrow{a}$ + k$\overrightarrow{b}$;

(h + k)$\overrightarrow{a}$= h$\overrightarrow{a}$+ k$\overrightarrow{a}$;

h(k$\overrightarrow{a}$) = (hk)$\overrightarrow{a}$;

1.$\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{a}$;

(–1)$\overrightarrow{a}$= –$\overrightarrow{a}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Thực hiện các phép toán vectơ sau:

a) 2($\overrightarrow{u}$– 6$\overrightarrow{v}$);

b) –5($\overrightarrow{a}$+ $\overrightarrow{b}$) + 3(3$\overrightarrow{b}$–4$\overrightarrow{a}$).

Hướng dẫn giải:

a) 2($\overrightarrow{u}$– 6$\overrightarrow{v}$) = 2$\overrightarrow{u}$– 12$\overrightarrow{v}$;

b) –5($\overrightarrow{a}$+ $\overrightarrow{b}$) + 3(3$\overrightarrow{b}$– 4$\overrightarrow{a}$) = –5$\overrightarrow{a}$– 5$\overrightarrow{b}$+ 9$\overrightarrow{b}$– 12$\overrightarrow{a}$

= (– 5$\overrightarrow{a}$– 12$\overrightarrow{a}$) + (– 5$\overrightarrow{b}$+ 9$\overrightarrow{b}$)

= – 17$\overrightarrow{a}$ + 4$\overrightarrow{b}$.

Ví dụ 2.Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, gọi D là trung điểm của AM. Chứng minh: $2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DM}$(vì M là trung điểm của BC).

Mà D là trung điểm của AM

Suy ra $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{MD}$

Hay $2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{DM}=2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DM}\right)=2.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$. (đpcm)

Ví dụ 3.Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB, điểm F thuộc AC sao cho AF = 2FC. Gọi M là trung điểm BC, I thuộc EF sao cho 4EI = 3FI. Biểu diễn $\overrightarrow{AI}$theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn giải:

Theo quy tắc 3 điểm, ta có: $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}$

Mà E là trung điểm của AB suy ra AE = $\frac{1}{2}$AB, do đó: $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

và 4EI = 3FI suy ra EI = $\frac{3}{7}$EF, do đó: $\overrightarrow{EI}=\frac{3}{7}\overrightarrow{EF}$.

Nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}$ = $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}\overrightarrow{EF}$.

= $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}\left(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}\right)$

Mà AF = 2FC hay AF = $\frac{2}{3}$ACnên $\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

Suy ra $\overrightarrow{AI}$= $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, gọi D là trung điểm của AM. Chứng minh: $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$(với O tùy ý).

Bài 2. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK = $\frac{1}{3}$AC. Phân tích vectơ $\overrightarrow{BK},\overrightarrow{BI}$theo hai vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$.

Bài 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{MN}$

Bài 4. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$;

b) $\overrightarrow{HG}=2\overrightarrow{GO}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Chứng minh: $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO},\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO},\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng

• Công thức tính góc giữa hai vectơ

• Công thức, tính chất về tích vô hướng của hai vectơ

• Công thức tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối và độ chính xác

• Công thức xác định số quy tròn và số gần đúng với độ chính xác cho trước

---