Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng (hay, chi tiết)

Bài viết Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng từ đó học tốt môn Toán.

Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng (hay, chi tiết)

1. Công thức

+) Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\overrightarrow{a}$ = k.$\overrightarrow{b}$.

+) Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Gọi M là trung điểm AD, điểm N thuộc AC sao cho $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AN}$. Chứng minh B, M, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

+) Lại có: $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)$(vì M là trung điểm của AD)

$=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$(vì D là trung điểm của BC)

$=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}.\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

= $-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

= $\frac{3}{4}\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)$

Suy ra $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BN}$

Vậy B, M, N thẳng hàng.

Ví dụ 2.Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB, điểm F thuộc AC sao cho AF = 2FC. Gọi M là trung điểm BC, I thuộc EF sao cho 4EI = 3FI. Chứng minh A, M, I thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}$

Mà E là trung điểm của AB suy ra AE = $\frac{1}{2}$ABhay $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

và 4EI = 3FI suy ra EI = $\frac{3}{7}$EFhay $\overrightarrow{EI}=\frac{3}{7}\overrightarrow{EF}$.

Nên $\overrightarrow{AI}$= $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}\overrightarrow{EF}$

= $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}\left(\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}\right)$

Mà AF = 2FC hay AF = $\frac{2}{3}$AChay $\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

Suy ra $\overrightarrow{AI}$= $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{7}\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)=\frac{2}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{7}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

+) $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$(vì M là trung điểm của BC).

Suy ra $\overrightarrow{AI}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AM}$

Hay A, M, I thẳng hàng.

Ví dụ 3.Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Gọi M là trung điểm AB, P thuộc AD sao cho $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AP}$, N thuộc AC sao cho $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AN}$. Chứng minh P, M, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

+) $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

hay $\overrightarrow{MP}=-\frac{1}{6}\left(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$(1).

+) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{4}\left(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$(2).

Từ (1) và (2), suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MP}$.

Vậy P, M, N thẳng hàng.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy H, trên BD lấy K sao cho $\overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}$. Chứng minh rằng A, K, H thẳng hàng.

Bài 2. Cho 4 điểm O, A, B, C sao cho $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh A, B, C thẳng hàng.

Bài 3. Tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, vẽ $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$. Chứng minh D, M, G thẳng hàng.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Lấy hai điểm I, J sao cho $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh I, J, B thẳng hàng.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Lấy hai điểm M, N sao cho $3\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{NB}-3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh G, M, N thẳng hàng (với G là trọng tâm tam giác).

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính góc giữa hai vectơ

• Công thức, tính chất về tích vô hướng của hai vectơ

• Công thức tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối và độ chính xác

• Công thức xác định số quy tròn và số gần đúng với độ chính xác cho trước

• Công thức tính số trung bình và cách xác định mốt

---