Công thức nghiệm của bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức nghiệm của bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức nghiệm của bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit từ đó học tốt môn Toán.

Công thức nghiệm của bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit lớp 11 (hay, chi tiết)

1. Công thức

a) Bất phương trình mũ:

- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b (hoặc a^x < b, a^x ≤ b, a^x ≥ b) với a > 0, a ≠ 1.

- Xét bất phương trình dạng a^x > b:

+ Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là ℝ.

+ Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương ${\text{a}}^{\text{x}}>{\text{a}}^{{\text{log}}_{\text{a}}\text{b}}\text{.}$

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

- Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại giải tương tự.

- Nếu a > 1 thì a^u > a^v ⇔ u > v.

Nếu 0 < a < 1 thì a^u > a^v ⇔ u < v.

b) Bất phương trình lôgarit

- Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng log_ax > b (hoặc log_ax < b, log_ax ≥ b, log_ax ≤ b) với a > 0, a ≠ 1.

- Xét bất phương trình dạng log_ax > b:

+ Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x > a^b.

+ Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là 0 < x < a^b.

- Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại giải tương tự.

- Nếu a > 1 thì log_au > log_av ⇔ u > v > 0.

Nếu 0 < a < 1 thì log_au > log_av ⇔ 0 < u < v.

Nếu u, v > 0 và 0 < a ≠ 1 thì log_au = log_av ⇔ u = v.

* Chú ý: Tìm điều kiện xác định trước khi giải bất phương trình.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau:

a) log_0,2(3x + 1) ≥ log_0,2(2x – 6).

b) log₃x < 4.

c) ${\log }_{\sqrt{5}}(\text{x}-1)+{\log }_{\frac{1}{5}}\left(\text{x}+1\right)\ge 1.$

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện: 3x + 1 > 0 và 2x – 6 > 0, tức là x > 3.

Vì cơ số 0,2 < 1 nên bất phương trình trở thành 3x + 1 ≤ 2x – 6 hay x ≤ – 7.

Kết hợp với điều kiện ta được bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Điều kiện: x > 0.

Vì cơ số 3 > 1 nên bất phương trình trở thành x < 3⁴ hay x < 81.

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là S = (0; 81).

c) Điều kiện: x – 1 > 0 và x + 1 > 0, tức x > 1.

Bất phương trình trở thành log₅(x – 1)² – log₅(x + 1) ≥ 1. Từ đó ${\log }_5\frac{{(\text{x}-1)}^2}{\text{x}+1}\ge 1$ hay $\frac{{(\text{x}-1)}^2}{\text{x}+1}\ge 5$

⇔ $\frac{{(\text{x}-1)}^2-5\text{x}-5}{\text{x}+1}\ge 0$

⇔ $\frac{{\text{x}}^2-7\text{x}-4}{\text{x}+1}\ge 0$

Ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu trên, ta suy ra $\frac{{\text{x}}^2-7\text{x}-4}{\text{x}+1}\ge 0\iff$$\left[\begin{array}{l}-1<\text{x}\le \frac{7-\sqrt{65}}{2}\\ \text{x}\ge \frac{7+\sqrt{65}}{2}\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là $\text{S}=\left(\frac{7+\sqrt{65}}{2};+\infty \right)$

Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:

a)6^2+x > 36.

b) $5^{x^2-1}>3^{x+1}.$

c) $3^{\frac{2\text{x}-1}{\text{x+}1}}>\frac{1}{9}.$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có 6^2+x > 36 ⇔ 6^2+x > 6² ⇔ 2 + x > 2 ⇔ x > 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (0; +∞).

b) Lôgarit cơ số 5 cả hai vế, bất phương trình trở thành:

x² – 1 > log₅3^x+1

⇔ x² – 1 > (x + 1)log₅3

⇔ (x + 1)(x – 1 – log₅3) > 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}\text{x}<-1\\ \text{x}>1+{\log }_{5}3\end{array}\right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; – 1) ∪ (1 + log₅3; +∞).

c) ĐKXĐ: x + 1 ≠ 0, tức là x ≠ – 1.

$3^{\frac{2\text{x}-1}{\text{x+}1}}>\frac{1}{9}$ ⇔ $3^{\frac{2\text{x}-1}{\text{x+}1}}>3^{-2}$ ⇔ $\frac{2\text{x}-1}{\text{x +}1}>-2$ ⇔ $\frac{2\text{x}-1+2\text{x}+2}{\text{x +}1}>0$ ⇔ $\frac{\text{4x}+1}{\text{x +}1}>0$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\text{x}>\frac{-1}{4}\\ \text{x}<-1\end{array}\right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(-\frac{1}{4};+\infty \right)$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{6-5\text{x}}{2+\text{5x}}}\ge \frac{9}{4}.$

b) $2^{{\text{x}}^{\text{2}}}<7^{\text{x}}.$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) log₂(x – 8) ≤ log₂(–x² + 6x – 8).

b) ${\log }_{\frac{1}{3}}\text{x}+{\log }_3\left(2-{\text{x}}^2\right)\le 0.$

Bài 3. Cho a là số nghiệm của phương trình ${\log }_4{\text{x}}^3+{\log }_{0,25}\text{x}+{\log }_{\sqrt{16}}\text{x}\le 5$ và b là số nghiệm của phương trình ${\log }_5\text{x}<{\log }_{\sqrt{5}}(2-9\text{x})$. So sánh a và b.

Bài 4. Tính tổng các nghiệm nguyên dương của phương trình

log(x – 40) + log(60 – x) < 2.

Bài 5. Tìm tập nghiệm chung của phương trình log₂x < 5 và phương trình

${\log }_4\left({\text{x}}^2-\text{x}-1\right)\ge {\log }_{\sqrt{4}}\left(\text{x}-1\right).$

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa

• Công thức tính đạo hàm của hàm sơ cấp cơ bản và tổng, hiệu, tích, thương

• Công thức tính đạo hàm của hàm hợp

• Công thức tính đạo hàm cấp hai

• Công thức xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

---