Công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa từ đó học tốt môn Toán.

Công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa lớp 11 (hay, chi tiết)

1. Công thức 

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x₀ ∈ (a; b). Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm x₀, kí hiệu là f’(x₀) hoặc y’(x₀).

– Quy tắc tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa:

Bước 1. Tính f(x) – f(x₀)

Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}$ với x ∈ (a; b), x ≠ x₀.

Bước 3. Tìm giới hạn $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right)}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0}$

– Phương trình tiếp tuyến:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x₀ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P(x₀; y₀) là y – y₀ = f’(x₀)(x – x₀), trong đó y₀ = f(x₀).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x): y = x² + 3x – 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số tại điểm x = 1.

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x): y = x² + 3x – 2.

Ta có:

f(x) – f(1) = x² + 3x – 2 – (1² – 3.1 – 2)

= x² + 3x – 4 = x² + 4x – x – 4 = (x – 1)(x + 4).

Với x ≠ 1, $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(1\right)}{\mathrm{x}-1}=\frac{\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+4\right)}{\mathrm{x}-1}=\mathrm{x}+4.$

Tính giới hạn: $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(1\right)}{\mathrm{x}-1}=\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\left(\mathrm{x}+4\right)=5$

Vậy f’(1) = 5.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x³ + 1.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hoành độ x₀ = – 1;

b) Tìm tọa độ điểm M, biết rằng tiếp tuyến của hàm số song song với đường thẳng có phương trình y = 27x + 5.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt y = f(x) = x³ + 1.

Ta có:

f(x) – f(–1) = x³ + 1 – [(–1)³ + 1] = x³ + 1 = (x + 1)(x² – x + 1).

Với x ≠ –1, $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(–1\right)}{\mathrm{x}+1}=\frac{\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1\right)}{\mathrm{x}+1}={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1.$

Tính giới hạn: $\underset{\mathrm{x}\to -1}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(-1\right)}{\mathrm{x}+1}=\underset{\mathrm{x}\to -1}{\lim }\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1\right)=3.$

Do đó f’(–1) = 3.

Với x₀ = –1 thì y₀ = 0 và y’(–1) = 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hoành độ x₀ = – 1 là:

y – 0 = 3[x – (– 1)] hay y = 3x + 3.

b) Giả sử M(a; a³ + 1) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = x³ + 1.

Đặt y = f(x) = x³ + 1.

Có ${\mathrm{y}}^{\text{'}}\left(\mathrm{a}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\lim }\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{x}-\mathrm{a}}$

Khi đó, $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^3+1-\left({\mathrm{a}}^3+1\right)}{\mathrm{x}-\mathrm{a}}=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{a}}^3}{\mathrm{x}-\mathrm{a}}$

$=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)\left({\mathrm{x}}^2\text{+ ax + }{\mathrm{a}}^2\right)}{\mathrm{x}-\mathrm{a}}=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\lim }\left({\mathrm{x}}^2\text{+ ax + }{\mathrm{a}}^2\right)=3{\mathrm{a}}^2.$ 

Do tiếp tuyến của hàm số song song với đường thẳng có phương trình y = 27x + 5 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 27.

Suy ra, ta có y’(a) = 27 nên 3a² = 27 ⇔ a = 3 hoặc a = – 3.

Với a = 3 thì M(3; 28)

Với a = –3 thì M(–3; –26)

Vậy M(3; 28) và M(–3; –26) là tọa độ cần tìm.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa:

a) $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}}$ tại điểm x = 1;

b) $\mathrm{y}=\frac{3-\sqrt{4-\mathrm{x}}}{4}$ tại điểm x = 0;

c) $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}$ tại điểm x = 2;              

d) $y=\left|x-2\right|$ tại điểm x = – 1.             

Bài 2. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn có hàm số là Q = t² – 10t – 7200 trong thời gian là t. Hãy tính cường độ tức thời của dòng điện chạy qua với thời gian 90s, biết rằng I(t₀) = Q(t₀).

Bài 3. Cho hàm số  và $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2\mathrm{khi}\mathrm{x}\ge 0\\ -{\mathrm{x}}^2\mathrm{khi}\mathrm{x}<0\end{array}\right.$. Tính f’(2).

Bài 4. Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{2}{\mathrm{x}},\mathrm{x}\ne 0$

a) Tính đạo hàm của đồ thị hàm số tại một điểm x₀ bất kì, x ≠ 0;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x₀ = – 1;

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y₀ = 6;

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\frac{-1}{8}$

Bài 5. Một vật rơi tự do theo phương trình $\mathrm{s}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2$, trong đó $\mathrm{g}\approx 9,8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ là gia tốc trọng trường.

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t = 5s đến t + ∆t với ∆t = 0,2s.

b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 3s;

c) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của vật tại thời điểm đó là 78,4 (m/s).

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính đạo hàm của hàm sơ cấp cơ bản và tổng, hiệu, tích, thương

• Công thức tính đạo hàm của hàm hợp

• Công thức tính đạo hàm cấp hai

• Công thức xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức xác định trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

---