Công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa lớp 11 (hay, chi tiết)
Bài viết Công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa từ đó học tốt môn Toán.
Công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa lớp 11 (hay, chi tiết)
1. Công thức
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f’(x0) hoặc y’(x0).
– Quy tắc tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa:
Bước 1. Tính f(x) – f(x0)
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số với x ∈ (a; b), x ≠ x0.
Bước 3. Tìm giới hạn
– Phương trình tiếp tuyến:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P(x0; y0) là y – y0 = f’(x0)(x – x0), trong đó y0 = f(x0).
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hàm số f(x): y = x2 + 3x – 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số tại điểm x = 1.
Hướng dẫn giải:
Hàm số f(x): y = x2 + 3x – 2.
Ta có:
f(x) – f(1) = x2 + 3x – 2 – (12 – 3.1 – 2)
= x2 + 3x – 4 = x2 + 4x – x – 4 = (x – 1)(x + 4).
Với x ≠ 1,
Tính giới hạn:
Vậy f’(1) = 5.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 + 1.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hoành độ x0 = – 1;
b) Tìm tọa độ điểm M, biết rằng tiếp tuyến của hàm số song song với đường thẳng có phương trình y = 27x + 5.
Hướng dẫn giải:
a) Đặt y = f(x) = x3 + 1.
Ta có:
f(x) – f(–1) = x3 + 1 – [(–1)3 + 1] = x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1).
Với x ≠ –1,
Tính giới hạn:
Do đó f’(–1) = 3.
Với x0 = –1 thì y0 = 0 và y’(–1) = 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hoành độ x0 = – 1 là:
y – 0 = 3[x – (– 1)] hay y = 3x + 3.
b) Giả sử M(a; a3 + 1) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = x3 + 1.
Đặt y = f(x) = x3 + 1.
Có
Khi đó,
Do tiếp tuyến của hàm số song song với đường thẳng có phương trình y = 27x + 5 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 27.
Suy ra, ta có y’(a) = 27 nên 3a2 = 27 ⇔ a = 3 hoặc a = – 3.
Với a = 3 thì M(3; 28)
Với a = –3 thì M(–3; –26)
Vậy M(3; 28) và M(–3; –26) là tọa độ cần tìm.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa:
a) tại điểm x = 1;
b) tại điểm x = 0;
c) tại điểm x = 2;
d) tại điểm x = – 1.
Bài 2. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn có hàm số là Q = t2 – 10t – 7200 trong thời gian là t. Hãy tính cường độ tức thời của dòng điện chạy qua với thời gian 90s, biết rằng I(t0) = Q(t0).
Bài 3. Cho hàm số và . Tính f’(2).
Bài 4. Cho hàm số
a) Tính đạo hàm của đồ thị hàm số tại một điểm x0 bất kì, x ≠ 0;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 = – 1;
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y0 = 6;
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng
Bài 5. Một vật rơi tự do theo phương trình , trong đó là gia tốc trọng trường.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t = 5s đến t + ∆t với ∆t = 0,2s.
b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 3s;
c) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của vật tại thời điểm đó là 78,4 (m/s).
Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:
Công thức tính đạo hàm của hàm sơ cấp cơ bản và tổng, hiệu, tích, thương
Công thức xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm
Công thức xác định trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài 500 Công thức, Định Lí, Định nghĩa Toán, Vật Lí, Hóa học, Sinh học được biên soạn bám sát nội dung chương trình học các cấp.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn Văn 6
- Soạn Văn 6 (bản ngắn nhất)
- Soạn Văn 6 (siêu ngắn)
- Văn mẫu lớp 6
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 6 (có đáp án)
- Giải vở bài tập Ngữ văn 6
- Giải bài tập Toán 6
- Giải SBT Toán 6
- Đề kiểm tra Toán 6 (200 đề)
- Giải bài tập Vật lý 6
- Giải SBT Vật Lí 6
- Giải bài tập Sinh học 6
- Giải bài tập Sinh 6 (ngắn nhất)
- Giải vở bài tập Sinh học 6
- Bài tập trắc nghiệm Sinh học 6
- Giải bài tập Địa Lí 6
- Giải bài tập Địa Lí 6 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 6
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 6
- Giải bài tập Tiếng anh 6
- Giải SBT Tiếng Anh 6
- Giải bài tập Tiếng anh 6 thí điểm
- Giải SBT Tiếng Anh 6 mới
- Giải bài tập Lịch sử 6
- Giải bài tập Lịch sử 6 (ngắn nhất)
- Giải vở bài tập Lịch sử 6
- Giải tập bản đồ Lịch sử 6
- Giải bài tập GDCD 6
- Giải bài tập GDCD 6 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 6
- Giải bài tập tình huống GDCD 6
- Giải BT Tin học 6
- Giải BT Công nghệ 6