Định lí sin và hệ quả (hay, chi tiết)

Bài viết Định lí sin và hệ quả chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Định lí sin và hệ quả từ đó học tốt môn Toán.

Định lí sin và hệ quả (hay, chi tiết)

1. Công thức

a) Định lí sin

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c.

Khi đó, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$,

trong đó, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b. Hệ quả của định lí sin

Từ định lí sin, ta suy ra:

a = 2RsinA; b = 2RsinB; c = 2RsinC;

$\sin A=\frac{a}{2R}$; $\sin B=\frac{b}{2R}$ ; $\sin C=\frac{c}{2R}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, có $\hat{A}=62°$, $\hat{B}=85°$và BC = 24. Tính độ dài cạnh AC, AB và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

+) Đặt a = BC, b = AC, c = AB.

+) Ta có: a = 24, $\hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{C}=180°-62°-85°=33°$(áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.

Suy ra:

AC = b = $\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{24.\sin 85°}{\sin 62°}$ ≈ 27,08;

AB = c = $\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{24.\sin 33°}{\sin 62°}$ ≈ 14,8;

R = $\frac{a}{2\sin A}=\frac{24}{2.\sin 62°}$ ≈ 13,6.

Ví dụ 2.Để xác định chiều cao của một tòa nhà cao tầng, một người đứng tại điểm F, sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng $\widehat{ADB}=72°$, người đó lùi ra xa một khoảng cách EF = 45 m thì nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng $\widehat{ACB}=52°$. Tính chiều cao của tòa nhà, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế đó là DF = CE = 1,2 m (hình vẽ).

(Góc nâng là góc tạo bởi tia ngắm nhìn lên và phương nằm ngang).

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: $\widehat{CAD}=\widehat{ADB}-\widehat{ACB}=72°-52°=20°$(suy ra từ tính chất góc ngoài của tam giác ACD tại đỉnh D).

+) Áp dụng định lí sin trong tam giác ACD, ta có:

$\frac{AD}{\sin \widehat{ACD}}=\frac{CD}{\sin \widehat{CAD}}\Rightarrow \frac{AD}{\sin 52°}=\frac{CD}{\sin 20°}\Rightarrow AD=\frac{CD.\sin 52°}{\sin 20°}$.

Ta có: CD = EF = 45 m.

+) Trong tam giác vuông ADB, ta có:

AB = AD.sin72° = $\frac{CD.\sin 52°.\sin 72°}{\sin 20°}=\frac{45.\sin 52°.\sin 72°}{\sin 20°}$ ≈ 98,6 (m).

Ta có: BO = CE = DF = 1,2 m.

Vậy chiều cao của tòa nhà là: AO = AB + BO ≈ 98,6 + 1,2 = 99,8 (m).

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC như hình vẽ. Tính AB.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\hat{A}=$180° – (60° + 75°) = 45°(áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).

Từ định lí sin trong tam giác ABC, ta suy ra:

$AB=\frac{BC.\sin C}{\sin A}=\frac{250.\sin 60°}{\sin 45°}$≈ 306,2.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong hình vẽ.

Bài 2. Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 50 cm, $\hat{B}=50°,\hat{C}=30°$. Tính các góc, các cạnh còn lại của tam giác.

Bài 3. Tính tất cả các góc của tam giác ABC biết AB = 15, AC = 25 và BC = 30.

Bài 4. Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 0,5 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 30° và 38° (Hình vẽ).

Bài 5. Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh C người ta phát hiện đám cháy D và số liệu đưa về như hình vẽ. Nên dẫn nước từ bồn A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Các công thức tính diện tích tam giác

• Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

• Công thức tính độ dài vectơ

• Công thức, tính chất về tổng và hiệu hai vectơ

• Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành

---