Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành (hay, chi tiết)

Bài viết Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành từ đó học tốt môn Toán.

Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành (hay, chi tiết)

1. Công thức

a) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm M, N, P ta có: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$.

b) Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Tính tổng $\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FD}$.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: EF là đường trung bình của tam giác ABC (do E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC).

Suy ra EF song song với CB hay EF // CD và EF = $\frac{1}{2}$BC = CD(do D là trung điểm của BC)

Suy ra EFDC là hình bình hành.

+) Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FC}$.

Ví dụ 2.Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$;

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}\right)$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$$=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}\right)$

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$.

Ví dụ 3. Cho hình thang vuông ABCD có đáy là AB và CD và DC = 2AD = 2AB = 2a. Tính độ dài của tổng hai vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải:

+) Gọi M là trung điểm của DC nên DM = MC = DC : 2 = 2a : 2 = a.

Do đó AB = AD = DM = a, $\widehat{DAB}=\widehat{ADC}=90°$.

Suy ra ABMD là hình vuông cạnh a.

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AM}$ (theo quy tắc hình bình hành)

Suy ra |$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$| = |$\overrightarrow{AM}$| = AM = $\sqrt{D{M}^2+A{D}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác đều ABC đường cao AH. Tìm $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}$.

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. Chứng minh: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC},\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{NI}$và tính tổng $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MK}$.

Bài 3. Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$;

c) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}$.

Bài 4. Cho hình thang vuông ABCD có đáy là AD và BC và AD = 2BC = 2a. Tính độ dài tổng hai vectơ $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCDtâm O. Tìm $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác

• Các công thức, tính chất về tích của một số với một vectơ

• Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng

• Công thức tính góc giữa hai vectơ

• Công thức, tính chất về tích vô hướng của hai vectơ

---