Công thức trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác từ đó học tốt môn Toán.

Công thức trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác (hay, chi tiết)

1. Công thức

+) M là trung điểm của AB, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Với E là một điểm bất kì, ta có: $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{EM}$.

+) G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Với F là một điểm bất kì, ta có: $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=3\overrightarrow{FG}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có K là trung điểm của AB. Tìm M, N để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}$, theo tính chất của trung điểm đoạn thẳng

Suy ra M là trung điểm của AK.

+) Ta có: $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$, theo tính chất của trung điểm đoạn thẳng

Suy ra N là trung điểm của CM.

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Hai điểm P, Q thỏa mãn $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$và $\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{QN}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh rằng PQ song song với AB.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$

Suy ra P là trọng tâm tam giác AMN suy ra $\frac{NP}{NH}=\frac{2}{3}$(với H là trung điểm AM).

Tương tự, ta có Q là trọng tâm tam giác BMN và $\frac{NQ}{NK}=\frac{2}{3}$(với K là trung điểm BM).

+) Xét tam giác NHK có $\frac{NP}{NH}=\frac{NQ}{NK}=\frac{2}{3}$

Theo định lí Talet, ta có PQ song song HK

Hay PQ song song với AB.

Ví dụ 3.Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. CMR: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải:

Do ABCDEF là lục giác đều tâm O nên O là trung điểm của các đường chéo chính AD, BE, CF.

Theo tính chất trung điểm, ta có:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$;

$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}$;

$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$.

Do đó, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}$

= $\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}\right)+\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF}\right)$

= $\overrightarrow{0}$(đpcm).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$.

Bài 2. Cho hình vuông cạnh ABCD a. Xác định O sao cho $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$và chứng minh rằng |$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}$| = |$\overrightarrow{AB}$|.

Bài 3. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Biết M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và hai điểm P, Q thỏa mãn $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$và $\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{QN}=\overrightarrow{0}$. Tính PQ.

Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh 2. M, G lần lượt thỏa mãn: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$. Tính |$\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AD}$|.

Bài 5. Cho hình thoi ABCD cạnh a, $\widehat{BAD}=60°$, điểm M bất kì thỏa mãn $\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$. Tính diện tích tam giác ACM.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Các công thức, tính chất về tích của một số với một vectơ

• Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng

• Công thức tính góc giữa hai vectơ

• Công thức, tính chất về tích vô hướng của hai vectơ

• Công thức tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối và độ chính xác

---