Phép cộng, phép trừ phân thức đại số lớp 8 (hay, chi tiết)

Bài viết Phép cộng, phép trừ phân thức đại số trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm về Phép cộng, phép trừ phân thức đại số từ đó học tốt môn Toán.

Phép cộng, phép trừ phân thức đại số lớp 8 (hay, chi tiết)

1. Công thức 

Quy tắc cộng của hai phân thức:

– Cộng hai phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{M}+\frac{B}{M}=\frac{A+B}{M}$  (với M ≠ 0).

– Cộng hai phân thức khác mẫu: $\frac{A}{M}+\frac{B}{N}=\frac{\mathrm{AN}+\mathrm{BM}}{\mathrm{MN}}$  (với M, N ≠ 0).

Quy tắc cộng của hai phân thức:

– Trừ hai phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{M}-\frac{B}{M}=\frac{A-B}{M}$  (với M ≠ 0).

– Trừ hai phân thức khác mẫu: $\frac{A}{M}-\frac{B}{N}=\frac{\mathrm{AN}-\mathrm{BM}}{\mathrm{MN}}$  (với M, N ≠ 0).

Chú ý:

– Muốn trừ hai phân thức ta có thể cộng phân thức bị trừ với phân thức đối của phân thức trừ.

$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+-\left(\frac{C}{D}\right)$ (với B, D ≠ 0).

– Phân thức cũng có tính chất giao hoán và kết hợp đối với phép cộng/ trừ như sau:

+ Giao hoán: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}$ (với B, D ≠ 0).

+ Kết hợp: $\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right)$ (với B, D, F ≠ 0).

Trước khi quy đồng mẫu thức của hai phân thức, ta có thể rút gọn từng phân thức trước để mẫu thức chung là một đa thức đơn giản.

– Sau khi thực hiện phép cộng và phép trừ phân thức, ta rút gọn kết quả (nếu có).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Với điều kiện các phân thức đều có nghĩa, thực hiện phép tính:

a) $\frac{2x-3}{x+5}+\frac{-10x+12}{x+5}$ ;                          b) $\frac{5x}{3-x}-\frac{2x-1}{3-x};$

c) $\frac{x+1}{2x-2}+\frac{-2x}{x^2-1};$                                d) $\frac{-x-y}{x\left(x^2-y^2\right)}-\frac{1}{x-y}.$

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{2x-3}{x+5}+\frac{-10x+12}{x+5}=\frac{2x-3-10x+12}{x+5}=\frac{-8x+9}{x+5}.$

b) $\frac{5x}{3-x}-\frac{2x-1}{3-x}=\frac{5x-\left(2x-1\right)}{3-x}=\frac{5x-2x+1}{3-x}=\frac{3x+1}{3-x}.$

c) $\frac{x+1}{2x-2}+\frac{-2x}{x^2-1}=\frac{x+1}{2\left(x-1\right)}+\frac{-2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{\left(x+1\right)\left(x+1\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{-2x\cdot 2}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{x^2+2x+1-4x}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2-2x+1}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x-1}{2\left(x+1\right)}.$

d) $\frac{-x-y}{x\left(x^2-y^2\right)}-\frac{1}{x-y}=\frac{-\left(x+y\right)}{x\left(x-y\right)\left(x+y\right)}-\frac{1}{x-y}$

$=\frac{-1}{x\left(x-y\right)}-\frac{1}{x-y}=\frac{-1}{x\left(x-y\right)}-\frac{x}{x\left(x-y\right)}=\frac{-1-x}{x\left(x-y\right)}.$

Ví dụ 2.Với điều kiện các phân thức đều có nghĩa, rút gọn biểu thức:

$A=\frac{x+1}{x-2}-\frac{x}{x-3}+\frac{2x}{x^2-5x+6}$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $\frac{x+1}{x-2}-\frac{x}{x-3}=\frac{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}-\frac{x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}$

                                 $=\frac{x^2-2x-3-x^2+2x}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\frac{-3}{x^2-5x+6}.$

Do đó $A=\frac{-3}{x^2-5x+6}+\frac{2x}{x^2-5x+6}=\frac{2x-3}{x^2-5x+6}$ .

Vậy $A=\frac{2x-3}{x^2-5x+6}$ .

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Hãy nối Phép cộng, phép trừ phân thức ở cột A với đáp án ở cột B?

Bài 2. Cho hai phân thức $\frac{b}{2a^2-ab}$  và $\frac{4a^2}{b^2-2ab}$  (với ab ≠ 0 và b≠ 2a). Hãy thực hiện phép cộng, trừ hai phân thức đó.

Bài 3. Cho biểu thức $A=\frac{4x}{x^3-1}+\frac{2}{2x-2}+\frac{-3}{x^2+x+1}$  với x ≠ 0; x ≠ 1.

a) Rút gọn biểu thức A;

b) Tính giá trị biểu thức A tại x = – 1 và x = 2.

Bài 4. Với điều kiện các phân thức đều có nghĩa, tìm phân thức P(x) thỏa mãn:

a) $\frac{x}{x-1}+\frac{3}{x+1}-P\left(x\right)=\frac{6x-1}{x^2-1}$ ;

b) $P\left(x\right)+\frac{2}{2x+1}-\frac{x+2}{4x^2-2x+1}=\frac{6x-3}{8x^2+1}$ ;

c) $\frac{x}{x^2+xy}-P\left(x\right)+\frac{x}{xy-x^2}=\frac{-x^2+xy}{x^3-x{y}^2}$ .

Bài 5. Một tàu du lịch đi từ Hà Nội tới Việt Trì, sau đó nó nghỉ lại tại Việt Trì 2 giờtrước khi quay trở lại Hà Nội. Quãng đường từ Hà Nội tới Việt Trì là 70 km. Vận tốc của dòng nước là 5 km/h. Gọi vận tốc thực của tàu là x km/h.

a) Hãy biểu diễn:

+ Thời gian tàu đi ngược dòng từ Hà Nội tới Việt Trì;

+ Thời gian tàu đi xuôi dòng từ Việt Trì tới Hà Nội;

+ Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu quay trở về Hà Nội.

b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi tàu về tới Hà Nội, biết rằng vận tốc lúc ngược dòng của tàu là 20 km/h.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Phép nhân, phép chia phân thức đại số

• Công thức xác định tọa độ một điểm thuộc đồ thị hàm số bậc nhất, giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất với hai trục tọa độ

• Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

• Công thức xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn

---