Trọn bộ Công thức Toán lớp 11 Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song quan trọng



Trọn bộ Công thức Toán lớp 11 Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song quan trọng

Nhằm mục đích giúp học sinh dễ dàng nhớ và nắm vững các công thức Toán lớp 11, VietJack biên soạn tài liệu trọn bộ công thức Toán 11 Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song đầy đủ công thức quan trọng, lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh vận dụng và làm bài tập thật tốt môn Toán lớp 11.




Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả

1. Lý thuyết

Định lý: 

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

 Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả hay nhất | Toán lớp 11

Hệ quả: 

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả hay nhất | Toán lớp 11

2. Công thức

Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau

Giả sử a ⊂ (P), b ⊂ (Q), a // b. Tìm giao tuyến của (P) và (Q)

Bước 1: Tìm 1 điểm chung M của (P) và (Q)

Bước 2: Ta có: Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả hay nhất | Toán lớp 11 

Kết luận: Giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng d, với d đi qua M và d // a // b.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) (SAB) và (SCD).

b) (MCD) và (SAB), với M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA.

Lời giải

Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả hay nhất | Toán lớp 11

a) 

Ta có: Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả hay nhất | Toán lớp 11 

=> (SAB) ∩ (SCD) = xx', với S ∈ xx' và xx' // AB // CD.

b) 

Ta có: Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả hay nhất | Toán lớp 11 

=> (SAB) ∩ (SCD) = yy', với M ∈ yy' và yy' // AB // CD. 

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG).

b) Xác định thiết diện của mặt phẳng (IJG) với hình chóp.

Lời giải

Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả hay nhất | Toán lớp 11

a) Ta có ABCD là hình thang (AB // CD) và I, J là trung điểm của AD, BC 

Suy ra IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên IJ // AB.

Ta có: Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả hay nhất | Toán lớp 11 => (SAB) ∩ (IJG) = d với G ∈ d và d // AB // IJ.

b) Trong (SAB), gọi d cắt SA, SB lần lượt tại M, N.

Ta có: Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả hay nhất | Toán lớp 11

Vậy tứ giác IJNM là thiết diện của mặt phẳng (IJG) với hình chóp.

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

1. Lý thuyết

a) Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

b) Tính chất

Định lý 1: 

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

Định lý 2: 

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Tức là: Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

Hệ quả (của định lý 2): 

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Tức là: Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

Định lý 3: 

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau.

Tức là: Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

2. Công thức

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

- Cách 1: Chứng minh chúng đồng phằng, sau đó áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng:

Sử dụng tính chất đường trung bình, Định lý Ta-lét đảo, cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.

- Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

- Cách 3: Áp dụng định lý giao tuyến song song

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11 

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng IJ // AB, từ đó suy ra IJ // CD.

Lời giải

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

+ Xét tam giác SAB có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB 

Nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB. 

Từ đó suy ra IJ // AB.

+  Ta có Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian hay nhất | Toán lớp 11

....................................

....................................

....................................

Trên đây là phần tóm tắt một số công thức Toán lớp 11 Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song năm học 2021 - 2022 quan trọng, để xem chi tiết mời quí bạn đọc vào từng công thức trên!

Xem thêm các bài tổng hợp Công thức Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official




Đề thi, giáo án các lớp các môn học
Tài liệu giáo viên