Trọn bộ Công thức Toán lớp 11 Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song quan trọng

---

---

Trọn bộ Công thức Toán lớp 11 Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song quan trọng

Nhằm mục đích giúp học sinh dễ dàng nhớ và nắm vững các công thức Toán lớp 11, VietJack biên soạn tài liệu trọn bộ công thức Toán 11 Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song đầy đủ công thức quan trọng, lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh vận dụng và làm bài tập thật tốt môn Toán lớp 11.

• Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả

• Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

• Công thức chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

• Công thức chứng minh hai mặt phẳng song song

• Định lý Ta-lét trong không gian

---

---

---

Công thức về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả

1. Lý thuyết

Định lý: 

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

 

Hệ quả: 

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

2. Công thức

Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau

Giả sử a ⊂ (P), b ⊂ (Q), a // b. Tìm giao tuyến của (P) và (Q)

Bước 1: Tìm 1 điểm chung M của (P) và (Q)

Bước 2: Ta có:  

Kết luận: Giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng d, với d đi qua M và d // a // b.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) (SAB) và (SCD).

b) (MCD) và (SAB), với M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA.

Lời giải

a) 

Ta có:  

=> (SAB) ∩ (SCD) = xx', với S ∈ xx' và xx' // AB // CD.

b) 

Ta có:  

=> (SAB) ∩ (SCD) = yy', với M ∈ yy' và yy' // AB // CD. 

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG).

b) Xác định thiết diện của mặt phẳng (IJG) với hình chóp.

Lời giải

a) Ta có ABCD là hình thang (AB // CD) và I, J là trung điểm của AD, BC 

Suy ra IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên IJ // AB.

Ta có:  => (SAB) ∩ (IJG) = d với G ∈ d và d // AB // IJ.

b) Trong (SAB), gọi d cắt SA, SB lần lượt tại M, N.

Ta có: 

Vậy tứ giác IJNM là thiết diện của mặt phẳng (IJG) với hình chóp.

Công thức chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

1. Lý thuyết

a) Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

b) Tính chất

Định lý 1: 

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Định lý 2: 

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Tức là:  

Hệ quả (của định lý 2): 

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

Tức là:  

Định lý 3: 

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau.

Tức là:  

2. Công thức

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

- Cách 1: Chứng minh chúng đồng phằng, sau đó áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng:

Sử dụng tính chất đường trung bình, Định lý Ta-lét đảo, cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.

- Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba

 

- Cách 3: Áp dụng định lý giao tuyến song song

 

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng IJ // AB, từ đó suy ra IJ // CD.

Lời giải

+ Xét tam giác SAB có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB 

Nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB. 

Từ đó suy ra IJ // AB.

+  Ta có

....................................

....................................

....................................

Trên đây là phần tóm tắt một số công thức Toán lớp 11 Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song năm học 2021 - 2022 quan trọng, để xem chi tiết mời quí bạn đọc vào từng công thức trên!

Xem thêm các bài tổng hợp Công thức Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

• Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

---

---

---