Công thức nghiệm của phương trình mũ, phương trình lôgarit lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức nghiệm của phương trình mũ, phương trình lôgarit trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức nghiệm của phương trình mũ, phương trình lôgarit từ đó học tốt môn Toán.

Công thức nghiệm của phương trình mũ, phương trình lôgarit lớp 11 (hay, chi tiết)

1. Công thức

a) Phương trình mũ

- Phương trình mũ cơ bản có dạng a^x = b (0 < a ≠ 1).

+ Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = log_ab.

+ Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.

- Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu 0 < a ≠ 1 thì a^u = a^v ⇔ u = v.

b) Phương trình lôgarit

- Phương trình lôgarit cơ bản có dạng log_ax = b (0 < a ≠ 1).

Phương trình lôgarit cơ bản log_ax = b có nghiệm duy nhất x = a^b.

- Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu u, v > 0 và 0 < a ≠ 1 thì log_au = log_av ⇔ u = v.

* Chú ý: Tìm điều kiện xác định trước khi giải phương trình.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a) 2^x+3 = 2^{7 – x}.

b) 16^x = 2.

c) $4^{\text{x}-2}=\frac{4}{{16}^{\text{x+1}}}.$

Hướng dẫn giải:

a) 2^x+3 = 2^{7 – x}  

⇔ x + 3 = 7 – x

⇔ 2x = 4

⇔ x = 2.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

b) Lấy lôgarit tự nhiên hai vế ta được x = log₁₆2 hay $\text{x}=\frac{1}{4}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\text{x}=\frac{1}{4}$

c) Đưa vế phải về cơ số 4, ta có $\frac{4}{{16}^{\text{x+1}}}=\frac{4}{{\left(4^2\right)}^{x+1}}=4^{-1-\text{2x}}$

Từ đó phương trình trở thành 4^{x – 2} = 4^{–1 – 2x} ⇔ x – 2 = –1 – 2x ⇔ 3x = 1 ⇔ $\text{x}=\frac{1}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\text{x}=\frac{1}{3}.$

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) 1 + log₃3x = 5.

b) log₂(x – 8) = 2.

c) ${\log }_4\left|\text{x}-1\right|=3.$

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện: 3x > 0 hay x > 0.

Phương trình trở thành log₃3x = 4. Từ đó 3x = 3⁴ hay x = 27 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 27.

b) Điều kiện: x – 8 > 0 hay x > 8.

Phương trình trở thành x – 8 = 2² hay x = 12 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 12.

c) Điều kiện: |x – 1| > 0 luôn đúng với mọi x.

Phương trình trở thành hay x = 65 hoặc x = –63 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {65; –63}.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) $5^{{\text{x}}^2+5\text{x}-6}=1.$

b) $3^{2\text{x}-1}-\frac{1}{27}=0.$

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) ${\log }_2\frac{-{\text{x}}^2+3\text{x}-2}{\text{x}}=0.$

b) log₂x + log₂(x – 1) = 1.

Bài 3. $2{\log }_3\left({\text{x}}^2-\text{x}-1\right)={\log }_{\sqrt{3}}\left(\text{x}-1\right).$

Bài 4. Tính tích các nghiệm của phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+5}=1$

Bài 5. Cho a là tổng các nghiệm của phương trình ${\log }_2\left(\text{x}-3\sqrt{\text{x}}+4\right)=3$, b tổng các nghiệm của phương trình $2^{{\text{x}}^2-\text{x+}4}=16.$ So sánh a và b.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức nghiệm của bất phương trình mũ, bất phương trình lôgari

• Công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa

• Công thức tính đạo hàm của hàm sơ cấp cơ bản và tổng, hiệu, tích, thương

• Công thức tính đạo hàm của hàm hợp

• Công thức tính đạo hàm cấp hai

---