Công thức dãy số tăng, dãy số giảm lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức dãy số tăng, dãy số giảm lớp 11 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về xác định điều kiện để một dãy số là dãy số tăng, dãy số giảm từ đó học tốt môn Toán.

Công thức dãy số tăng, dãy số giảm lớp 11 (hay, chi tiết)

1. Công thức

Cho dãy số (u_n), n ∈ ℕ^*.

- Xét hiệu H = u_n+1 – u_n:

          + Nếu H > 0 thì dãy số tăng.

          + Nếu H < 0 thì dãy số giảm.

- Nếu u_n > 0 thì xét tỉ số $\frac{{\text{u}}_{\text{n+1}}}{{\text{u}}_{\text{n}}}$ :

          + Nếu $\frac{{\text{u}}_{\text{n+1}}}{{\text{u}}_{\text{n}}}>1$  thì dãy số tăng.

          + Nếu $\frac{{\text{u}}_{\text{n+1}}}{{\text{u}}_{\text{n}}}<1$  thì dãy số giảm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n) với:

a) ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{5\text{n}+2}{\text{n + }4}$.

b) ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{1}{2}\cdot {10}^{\text{n}-1}$.

c) ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{\text{n}+1}{4^{\text{n}}}$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có ${\text{u}}_{\text{n+1}}=\frac{5\left(\text{n+1}\right)+2}{\left(\text{n+1}\right)\text{ + }4}=\frac{5\text{n}+7}{\text{n + 5}}$.

Xét hiệu

${\text{u}}_{\text{n+1}}-{\text{u}}_{\text{n}}=\frac{5\text{n}+7}{\text{n}+\text{5}}-\frac{5\text{n}+2}{\text{n}+4}=\frac{(5\text{n}+7)(\text{n}+4)-(5\text{n}+2)(\text{n}+3)}{(\text{n}+3)(\text{n}+4)}=\frac{10\text{n+22}}{(\text{n}+3)(\text{n}+4)}$

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{10\text{n+22}}{(\text{n}+3)(\text{n}+4)}>0$ , tức là u_{n + 1} – u_n > 0 hay u_{n + 1} > u_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b) Ta có ${\text{u}}_{\text{n+1}}=\frac{1}{2}\cdot {10}^{\text{n+1}-1}=\frac{1}{2}\cdot {10}^{\text{n}}$.

Vì u_n > 0 với mọi n ∈ ℕ^* nên ta xét tỉ số

      $\frac{{\text{u}}_{\text{n+1}}}{{\text{u}}_{\text{n}}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot {10}^{\text{n}}}{\frac{1}{2}\cdot {10}^{\text{n-1}}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot {10}^{\text{n}}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{{10}^{\text{n}}}{10}}=10>1$ 

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Ta có ${\text{u}}_{\text{n+1}}=\frac{\text{n+1}+1}{4^{\text{n+1}}}=\frac{\text{n}+2}{4^{\text{n+1}}}$ .

Vì u_n > 0 với mọi n ∈ ℕ^* nên ta xét tỉ số

        $\frac{{\text{u}}_{\text{n+1}}}{{\text{u}}_{\text{n}}}=\frac{\frac{\text{n}+2}{4^{\text{n}+1}}}{\frac{\text{n}+1}{4^{\text{n}}}}=\frac{\text{n}+2}{\text{4(n}+1)}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{\text{n}+1}\right)$ 

Vì n ∈ ℕ^* nên $1+\frac{1}{\text{n}+1}<2\Rightarrow \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{\text{n}+1}\right)<\frac{1}{2}<1$.

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Ví dụ 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n) với:

a) u_n = (–1)ⁿ.

b) ${\text{u}}_{\text{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{\mathrm{n}+1}$.

c) u_n = n³ – 2n + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có u₁ = (–1)¹ = –1.

u₂ = (–1)² = 1.

u₃ = (–1)³ = –1.

Vậy dãy số đã cho là dãy không tăng không giảm.

b) Ta có ${\text{u}}_{\text{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{\mathrm{n}+1+1}=\sqrt{n+1}-\sqrt{\mathrm{n}+2}$.

Xét hiệu ${\text{u}}_{\text{n+1}}-{\text{u}}_{\text{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{\mathrm{n}+2}-\left(\sqrt{n}-\sqrt{\mathrm{n}+1}\right)$

                            $=\frac{-1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{\mathrm{n}+2}}-\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{\mathrm{n}+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{\mathrm{n}+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{\mathrm{n}+2}}$

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{\mathrm{n}+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{\mathrm{n}+2}}>0$.

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Ta có u_n+1 = (n + 1)³ – 2(n + 1) + 1 = n³ + 3n² + n.

Xét hiệu u_n+1 – u_n = n³ + 3n² + n – (n³ – 2n + 1) = 3n² + 3n – 1.

Vì n ∈ ℕ^* nên 3n – 1 > 0 ⇒ 3n² + 3n – 1 > 0.

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n) với u_n = 3n³ + 2n² – n + 4.

Bài 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n) với u_n = 2n + sin² n.

Bài 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n) với

                           ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{1}{\text{n}+3}+\frac{1}{\text{n}+4}+\frac{1}{\text{n}+5}+\mathrm{......}+\frac{1}{\text{2n}}$

Bài 4. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n) với ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{1}{\text{n}\left(\text{n}-6\right)}$.

Bài 5. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n) với ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{\text{n}}{2\sqrt{\text{n}+1}}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức dãy bị chặn

• Công thức để dãy số là cấp số cộng

• Công thức số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

• Công thức để dãy số là cấp số nhân

• Công thức Số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

---