Công thức để dãy số là cấp số nhân lớp 11 (hay, chi tiết)
Bài viết Công thức để dãy số là cấp số nhân trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về xác định một dãy số là cấp số nhân từ đó học tốt môn Toán.
Công thức để dãy số là cấp số nhân lớp 11 (hay, chi tiết)
1. Công thức
- Để chứng minh một dãy số là cấp số nhân hoặc không là cấp số nhân, ta có thể sử dụng một trong các cách sau đây:
Cách 1. Chứng minh được ∀n ≥ 1: un+1 = un q, trong đó q là một số không đổi thì (un) là một cấp số nhân với công bội q.
Cách 2. Cho dãy số (un) gồm các số khác 0. Xét tỉ số :
+ Nếu (k là hằng số) thì (un) là cấp số nhân với công bội q = k.
+ Nếu phụ thuộc vào n thì (un) không là cấp số nhân.
- Ngoài ra, với một dãy số (un), ta có thể chứng minh dãy số đó không phải là cấp số nhân nếu tồn tại số k ≥ 2 sao cho (trong điều kiện phân thức/phân số có nghĩa).
- Chú ý: (un) là cấp số nhân khi và chỉ khi un-1 ⋅ un+1 = (un)2, n ≥ 2.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
a) un = 2n.
b) un = 3n – 1.
c) un = 2n + 1.
d) .
Hướng dẫn giải:
a) Ta có un+1 = 2n+1.
Vì un > 0 với mọi n nên ta xét tỉ số không phụ thuộc vào n.
Vậy (un) là cấp số nhân.
b) Ta có un+1 = 3n+1 – 1 = 3n.
Vì un > 0 với mọi n nên ta xét tỉ số không phụ thuộc vào n.
Vậy (un) là cấp số nhân.
c) Ta có un + 1 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3.
Xét tỉ số phụ thuộc vào n.
Vậy (un) không là cấp số nhân.
d) Ta có ,,.
Vậy (un) không là cấp số nhân.
Ví dụ 2.
a) Tìm a biết 5, a, 125 lập thành cấp số nhân.
b) Tìm hai số a và b, biết a + 6b, 5a + 2b, 8a + b là cấp số cộng và a – 1, b + 2, a – 3b là cấp số nhân.
c) Tìm hai số a và b, biết 1, a, b là cấp số nhân và 1, , b là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
a) Vì 5, a, 125 lập thành cấp số nhân nên a2 = 5 ⋅ 125 = 625.
b) Vì a + 6b, 5a + 2b, 8a + b là cấp số cộng nên ta có a + 6b + 8a + b = 2(5a + 2b).
⇔ a – 3b = 0 ⇔ a = 3b.
Lại có a – 1, b + 2, a – 3b là cấp số nhân nên (b + 2)2 = (a – 1)(a – 3b).
⇔ a2 – b2 – 3ab – a – b – 4 = 0 (*).
Thay a = 3b vào (*) ta được:
(3b)2 – b2 – 3 ⋅ 3b ⋅ b – 3b – b – 4 = 0
⇔ b2 + 4b + 4 = 0
⇔ b = –2.
⇒ a = 3 ⋅ (–2) = –6.
Vậy a = –6, b = – 2.
c) Vì 1, a, b là cấp số nhân nên a2 = b. (1)
Lại có 1,, b là cấp số cộng nên b = 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có a2 = 2 ⇔ a2 – 2a + 1 = 0 ⇔ a = 1.
⇒ b = a2 = 12 = 1.
Vậy a = b = 1.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân:
a) (un) với .
b) (un) với .
c) (un) với un = n2 + 2n + 1.
Bài 2. Tìm m để ba số u1 = 3 + m, u2 = 2m, u3 = 2 – m lập thành cấp số nhân.
Bài 3. Tìm a và b biết a, b, a + b lập thành cấp số cộng và a, 3b – 2a, 3a + 2b lập thành cấp số nhân.
Bài 4. Tìm x biết x, 2x, x + 3 lập thành cấp số nhân.
Bài 5. Biết 2x – 1, x, 2x + 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính tổng các giá trị tìm được của x.
Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:
Công thức Số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Định lí về giới hạn hữu hạn và một số giới hạn cơ bản của dãy số
Công thức hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài 500 Công thức, Định Lí, Định nghĩa Toán, Vật Lí, Hóa học, Sinh học được biên soạn bám sát nội dung chương trình học các cấp.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn Văn 6
- Soạn Văn 6 (bản ngắn nhất)
- Soạn Văn 6 (siêu ngắn)
- Văn mẫu lớp 6
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 6 (có đáp án)
- Giải vở bài tập Ngữ văn 6
- Giải bài tập Toán 6
- Giải SBT Toán 6
- Đề kiểm tra Toán 6 (200 đề)
- Giải bài tập Vật lý 6
- Giải SBT Vật Lí 6
- Giải bài tập Sinh học 6
- Giải bài tập Sinh 6 (ngắn nhất)
- Giải vở bài tập Sinh học 6
- Bài tập trắc nghiệm Sinh học 6
- Giải bài tập Địa Lí 6
- Giải bài tập Địa Lí 6 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 6
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 6
- Giải bài tập Tiếng anh 6
- Giải SBT Tiếng Anh 6
- Giải bài tập Tiếng anh 6 thí điểm
- Giải SBT Tiếng Anh 6 mới
- Giải bài tập Lịch sử 6
- Giải bài tập Lịch sử 6 (ngắn nhất)
- Giải vở bài tập Lịch sử 6
- Giải tập bản đồ Lịch sử 6
- Giải bài tập GDCD 6
- Giải bài tập GDCD 6 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 6
- Giải bài tập tình huống GDCD 6
- Giải BT Tin học 6
- Giải BT Công nghệ 6