Công thức Hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về xác định một hàm là hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn từ đó học tốt môn Toán.

Công thức Hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn lớp 11 (hay, chi tiết)

1. Công thức

a) Hàm số liên tục tại một điểm:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại tại x₀ nếu $\underset{\text{x}\to {\text{x}}_{\text{0}}}{\lim }\text{f(x)}={\text{f(x}}_{\text{0}}\text{)}$.

b) Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn:

- Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

- Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu $\underset{\text{x}\to {\text{a}}^{+}}{\lim }\text{f(x)}=\text{a},\underset{\text{x}\to {\text{b}}^{-}}{\lim }\text{f(x) = b}$.

c) Chú ý:

- Hàm đa thức và các hàm y = sinx, y = cosx liên tục trên ℝ.

- Các hàm y = tanx, y = cotx, $\text{y}=\sqrt{\text{x}}$ và hàm thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

d) Một số tính chất:

Hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

- Các hàm y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x)g(x) liên tục tại x₀.

- Hàm số $\text{y}=\frac{\text{f(x)}}{\text{g(x)}}$ liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số tại sau tại điểm x₀ = 1.

a) $\text{f(x)}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\text{2x}}^2-3\text{x}+1}{\text{2x}-2},\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x}\ne 1\\ 2,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x =\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}\end{array}\right.$;

b) $\text{f(x)}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\text{3x}}^2-2\text{x}-1}{\text{x}-1},\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x}>1\\ 2\text{x}+3,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x}\le 1\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có f(1) = 2.

$\underset{\text{x}\to 1}{\lim }\text{f(x)}=\underset{\text{x}\to 1}{\text{lim}}\frac{{\text{2x}}^2-3\text{x}+1}{\text{2x}-2}=\underset{\text{x}\to 1}{\text{lim}}\frac{(\text{x}-1)(2\text{x}-1)}{\text{2(x}-1)}=\underset{\text{x}\to 1}{\text{lim}}\frac{\text{2x}-1}{2}=\frac{1}{2}$.

Suy ra $\underset{\text{x}\to 1}{\lim }\text{f(x)}\ne \text{f(1)}$.

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x₀ = 1.

b) Ta có

$\underset{\text{x}\to 1^{+}}{\lim }\text{f(x)}=\underset{\text{x}\to 1^{+}}{\text{lim}}\frac{{\text{3x}}^2-2\text{x}-1}{\text{x}-1}=\underset{\text{x}\to 1^{+}}{\text{lim}}\frac{(\text{x}-1)(3\text{x}+1)}{\text{x}-1}=\underset{\text{x}\to 1^{+}}{\text{lim}}\text{(3x}+1)=4$.

$\underset{\text{x}\to 1^{-}}{\lim }\text{f(x)}=\underset{\text{x}\to 1^{-}}{\text{lim}}(2\text{x}+3)=5$.

Do đó không tồn tại giới hạn $\underset{\text{x}\to 1}{\lim }\text{f(x)}$.

Vậy hàm số không liên tục tại x₀ = 1.

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:

a) $\text{f(x)}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\text{x}}^2-5\text{x}+6}{\text{x}-3},\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x}>3\\ 2\text{x}+1,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x}\le 3\end{array}\right.$;

b) $\text{f(x)}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\text{x}}^2+3\text{x}+2}{\text{x}+2},\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x}\ne -2\\ 3,\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x =}-2\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

a)

- Với x > 3, ta có $f\left(x\right)=\frac{x^2-5x+6}{x-3}$  xác định nên hàm số f(x) liên tục trên (3; +∞).

- Với x < 3, ta có f(x) = 2x + 1 là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên (–∞; 3).

- Tại x = 3 ta có:

+) f(3) = 3 . 2 + 1 = 7.

+) $\underset{\text{x}\to 3^{-}}{\lim }\text{f(x)}=\underset{\text{x}\to {\text{3}}^{\text{-}}}{\text{lim}}(2\text{x}+1)=7$.

+) $\underset{\text{x}\to 3^{+}}{\lim }\text{f(x)}=\underset{\text{x}\to {\text{3}}^{+}}{\text{lim}}\frac{{\text{x}}^2-5\text{x}+6}{\text{x}-3}=\underset{\text{x}\to {\text{3}}^{+}}{\text{lim}}\frac{(\text{x}-2)(\text{x}-3)}{\text{x}-3}=\underset{\text{x}\to {\text{3}}^{+}}{\text{lim}}(\text{x}-2)=1$.

Suy ra $\underset{\text{x}\to 3^{-}}{\lim }\text{f(x)}\ne \underset{\text{x}\to 3^{+}}{\lim }\text{f(x)}$.

Do đó, hàm số đã cho không liên tục tại x = 3.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (–∞; 3), (3; +∞).

b)

Khi x ≠ –2, ta có $\text{f(x)}=\frac{{\text{x}}^2+3\text{x}+2}{\text{x}+2}$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên các khoảng xác định (–∞; –2), (–2; +∞).

Ta có $\text{f(x)}=\frac{{\text{x}}^2+3\text{x}+2}{\text{x}+2}=\frac{(\text{x}+2)(\text{x}+1)}{\text{x}+2}=\text{x}+1$.

+) f(–2) = 3.

+) $\underset{\text{x}\to -2}{\lim }\text{f(x)}=\underset{\text{x}\to -2}{\text{lim}}\left(\text{x + 1}\right)=-2+1=-1$.

Suy ra $\underset{\text{x}\to -2}{\lim }\text{f(x)}\ne \text{f}\left(-2\right)$

Do đó, hàm số đã cho không liên tục tại x = –2.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (–∞; –2) và (–2; +∞).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số $\text{f(x)}=\left\{\begin{array}{l}\frac{3-\sqrt{2\text{x}-3}}{2-\text{x}},\text{x}\ne 2\\ 1,\text{x}=2\end{array}\right.$ tại điểm x₀ = 2.

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số $\text{f(x)}=\left\{\begin{array}{l}{\text{x}}^2-\text{x}+4,\text{x}\ge 2\\ \frac{\text{x}-2}{\sqrt{\text{x}+7}-3},-7<\text{x}<2\end{array}\right.$ liên tục trên (–7; +∞).

Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số $\text{f(x)}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\text{x}}^2-3\text{x}+2}{\text{2}-\text{x}},\text{x}\ne 2\\ 4\text{x}-7,\text{x}=2\end{array}\right.$ trên tập xác định của nó.

Bài 4. Xét tính liên tục của hàm số $\text{f(x)}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2x^3+x+3}{x^3+1},\text{x}\ne -1\\ \frac{7}{3},\text{x}=-1\end{array}\right.$trên tập xác định của nó.

Bài 5. Cho hàm số $\text{f(x)}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\text{x}}^3-1}{\text{x}-1},\text{x}\ne 1\\ 2\text{m}+1,\text{x}=1\end{array}\right.$. Xác định m để hàm số liên tục trên ℝ.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức dãy số tăng, dãy số giảm

• Công thức dãy bị chặn

• Công thức để dãy số là cấp số cộng

• Công thức số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

• Công thức để dãy số là cấp số nhân

---