Tổng hợp lý thuyết Toán 12 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Toán 12

Bài giảng: Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)

• Tổng hợp lý thuyết chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
• Tổng hợp lý thuyết chương Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ, hàm số logarit
• Tổng hợp lý thuyết chương Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng
• Tổng hợp lý thuyết chương Số phức
• Tổng hợp lý thuyết chương Khối đa diện
• Tổng hợp lý thuyết chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
• Tổng hợp lý thuyết chương Phương pháp tọa độ trong không gian

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    - Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) .

    - Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

    Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    - Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K .

    - Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

    Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    - Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    - Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    - Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

* Chú ý.

    - Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f'(x) > 0, ∀x ∈ K trên khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến trên đoạn [a; b].

    - Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K ( hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K ) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K).

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)

    Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P(x), hoặc giá trị của x làm biểu thức P(x) không xác định.

    Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

    Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.

2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên tập xác định

    Bước 1. Tìm tập xác định D.

    Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x).

    Bước 3. Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

    Bước 4. Lập bảng biến thiên.

    Bước 5. Kết luận.

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước.

    Cho hàm số y = f(x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D:

    - Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b)

    - Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b)

* Chú ý.

    Riêng hàm số $$y = {{{a_1}x + {b_1}} \over {cx + d}}$$ thì :

    - Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' < 0, ∀ x ∈ (a; b)

    - Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' > 0, ∀ x ∈ (a; b)

* Một số kiến thức liên quan

    Cho tam thức g(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

    $$a)\,\,\,g(x) \ge 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \gt 0 \hfill \cr \Delta \le 0 \hfill \cr} \right.$$

    $$b)\,\,\,g(x) \gt 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \lt 0 \hfill \cr \Delta \gt 0 \hfill \cr} \right.$$

    $$c)\,\,\,g(x) \le 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \lt 0 \hfill \cr \Delta \le 0 \hfill \cr} \right.$$

    $$d)\,\,\,g(x) \le 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \le 0 \hfill \cr \Delta \le 0 \hfill \cr} \right.$$

* Chú ý.

    Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b):

    - Bước 1. Đưa bất phương trình f'(x) ≥ 0 (hoặc f'(x) ≤ 0), ∀x ∈(a; b) về dạng g(x) ≥ h(m) (hoặc g(x) ≤ h(m)), ∀x ∈ (a; b).

    - Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên (a; b).

    - Bước 3. Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.

Lý thuyết Cực trị hàm số

1. Định nghĩa:

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -∝; b là +∝) và điểm x_o ∈ (a; b) .

    - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x_o) với mọi x ∈ (x_o - h; x_o + h) và x ≠ x_o thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x_o .

    - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x_o) với mọi x ∈ (x_o - h; x_o + h) và x ≠ x_o thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x_o .

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

    Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = (x_o - h; x_o + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x_o}, với h > 0 .

    - Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x_o - h; x_o) và f'(x) < 0 trên (x_o; x_o + h) thì x_o là một điểm cực đại của hàm số f(x).

    - Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x_o - h; x_o) và f'(x) > 0 trên (x_o; x_o + h) thì x_o là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

    Minh họa bằng bảng biến thiến

* Chú ý.

    - Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x_o thì x_o được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x_o) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_CĐ(f_CT) , còn điểm M(x_o; f(x_o)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

    - Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

    - Quy tắc 1:

    Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

    Bước 2. Tính f'(x) . Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

    Bước 3. Lập bảng biến thiên.

    Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

    - Quy tắc 2:

    Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

    Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu x_i (i = 1; 2; 3;...) là các nghiệm của nó.

    Bước 3. Tính f"(x) và f"(x_i).

    Bước 4. Dựa vào dấu của f"(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

    Ta có y'= 3ax² + 2bx + c

    - Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ b² - 3ac > 0. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : .

    - Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :

   

    Hoặc sử dụng công thức .

    - Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:

   

3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

    Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

   

    (C) có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt .

    Khi đó ba điểm cực trị là: với Δ = b² - 4ac

    Độ dài các đoạn thẳng: .

    Các kết quả cần ghi nhớ:

    - ΔABC vuông cân ⇔ BC² = AB² + AC²

   

    - ΔABC đều ⇔ BC² = AB²

   

    - , ta có:

    -

    - Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là

    - Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là

    - Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

C. Kĩ năng sử dụng máy tính

Ví dụ 1: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x³ + 3x² - x + 2

Hướng dẫn:

    Bấm máy tính: MODE 2

Ví dụ 2: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ( nếu có ) của đồ thị hàm số: y = x³ - 3x² + m²x + m

Hướng dẫn:

    Bấm máy tính: MODE 2

    Ta có:

   

    Vậy đường thẳng cần tìm:

   

....................................

....................................

....................................