Các dạng bài tập Phương trình mặt cầu chọn lọc, có đáp án

Sổ tay toán lý hóa 12 chỉ từ 29k/cuốn

Phần Phương trình mặt cầu Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Phương trình mặt cầu hay nhất tương ứng.

Các dạng bài tập Phương trình mặt cầu chọn lọc, có đáp án

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu

A. Phương pháp giải & Ví dụ

+ Phương trình (S): (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² là phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R

+ Phương trình (S): x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 thỏa mãn điều kiện a²+b²+c²-d>0 là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó

a) (x-2)²+(y+3)²+z²=5

b) x²+y²+z²-2x+4y-6z+1=0

c) 3x²+3y²+3z²-6x+3y+21=0

Lời giải:

a) Phương trình (x-2)²+(y+3)²+z²=5 có dạng

(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² nên là phương trình mặt cầu có tâm

I (2; -3; 0) và bán kính R=√5.

b) Phương trình x²+y²+z²-2x+4y-6z+1=0 có dạng

x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 với a = 1; b = -2; c = 3, d = 1

⇒ a²+b²+c²-d=13>0

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R=√13.

c) Phương trình 3x²+3y²+3z²-6x+3y+21=0

⇔ x²+y²+z²-2x+y+7=0

Phương trình có dạng x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 với

a=1;b=(-1)/2;c=0;d=7 ⇒a²+b²+c²-d=(-23)/4<0

Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.

a) x²+y²+z²-2mx+2(m+1)y-4z+1=0

b) x²+y²+z²-2(m-3)x-4mz+8=0

Lời giải:

a) Phương trình x²+y²+z²-2mx+2(m+1)y-4z+1=0 có

a=m;b=-(m+1); c=2;d=1.

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a²+b²+c²-d>0

⇔ m²+(m+1)²+2²-1>0⇔2m²+2m+3>0 ⇔m∈R.

b) Phương trình x²+y²+z²-2(m-3)x-4mz+8=0 có a=m-3;

b=0;c=2m;d=8

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔a²+b²+c²-d>0

⇔(m-3)²+4m²-8>0 ⇔5m²-6m+1>0

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x²+y²+z²+2(m+2)x-2(m-3)z+m²-1=0 là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Lời giải:

Phương trình x²+y²+z²+2(m+2)x-2(m-3)z+m²-1=0 có:

a=-(m+2);b=0;c=m-3;d=m²-1

Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a²+b²+c²-d>0

⇔ (m+2)²+(m-3)²-m²+1>0 ⇔ m²-2m+14>0 ⇔ m∈R.

Khi đó, bán kính mặt cầu là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Dấu bằng xảy ra khi m = 1.

Vậy với m = 1 thì mặt cầu có bán kính nhỏ nhất R=√13.

Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R

Phương pháp giải

Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là:

(S): (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Ví dụ minh họa

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1) và có bán kính R = 5.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là:

(S): (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1) và có bán kính R = 5 là:

(S): (x-2)²+(y-3)²+(z+1)²=25.

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A (4; -3; 7), B(2; 1; 3)

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AB

Do AB là đường kính của mặt cầu I là tâm mặt của mặt cầu.

⇒ I(3; -1;5)

Bán kính mặt cầu là:

R=IA Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải = 3

Vậy phương trình mặt cầu có đường kính AB là:

(x-3)²+(y+1)²+(z-5)²=9

Chú ý: Để lập phương trình mặt cầu nhận AB là đường kính thì ta tìm tâm I là trung điểm của AB và bán kính R=AB/2

Bài 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; -2; 2) và đi qua A(-2; 0; -1)

Lời giải:

Vì mặt cầu (S) đi qua A nên (S) có bán kính

R=IA Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải =√38

Vậy phương trình mặt cầu có tâm I (3; -2; 2) và bàn kính R=√38 là:

(x-3)²+(y+2)²+(z-2)²=38

Chú ý: Để lập phương trình mặt cầu khi biết tâm I (a; b; c) và đi qua một điểm A cho trước thì ta tìm bán kính R = IA. Khi đó, phương trình mặt cầu (S) có dạng:

(S): (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc mặt phẳng

Phương pháp giải

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R

R=d(I;(P)) Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:

(S): (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Ví dụ minh họa

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2x + 2z – 5 = 0.

Lời giải:

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P)) Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải = 8/3

Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu R=d(I;(P))=8/3

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với (P) là:

(x-1)²+(y+2)²+z²=64/9

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; -1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z = 0

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng Oxy là:

d(I;(Oxy))=|-2|/√(1² )=2

Phương trình mặt cầu có tâm I (3; -1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) là:

(x-3)²+(y+1)²+(z+2)²=4

Bài 3: Cho 4 điểm A (3; -2; -2), B (3; 2; 0), C (0; 2; 1) và D (-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

Lời giải:

BC→=(-3;0;1); BD→=(-4; -1;2)

⇒ [BC→ , BD→ ]=(1;2;3)

⇒ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là: n→ =(1;2;3)

Phương trình mặt phẳng (BCD) có VPPT n→=(1;2;3) và đi qua điểm B(3; 2; 0) là: x-3+2(y-2)+3z=0

⇔ x+2y+3z-7=0

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là:

d(A;(BCD)) Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải = √14

Khi đó, phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (BCD) là:

(x-3)²+(y+2)²+(z+2)²=14

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official