Công thức diện tích hình thoi đầy đủ (có giải chi tiết)

---

---

Bài viết Công thức diện tích hình thoi hay, chi tiết Toán 8 hay nhất gồm 2 phần: Lý thuyết và Các ví dụ áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức diện tích hình thoi hay, chi tiết.

Công thức diện tích hình thoi (siêu hay)

I. Lý thuyết

Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.

$S=\frac{1}{2}{d}_1.d_2$ trong đó $d_1,d_2$là độ dài hai đường chéo.

Cho ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC và BD có độ dài là $d_1,d_2$. Khi đó diện tích hình thoi ABCD là:

$S=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}{d}_1.d_2$.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 17cm, tổng hai đường chéo bằng 46cm.

Lời giải:

Giả sử hình thoi cần tính diện tích là ABCD.

Vì tổng độ dài hai đường chéo là 46cm nên ta có:

AC + BD = 46   (1). Giả sử AC < BD.

Vì ABCD là hình thoi nên $AC\perp BD$(tính chất hai đường chéo cắt nhau của hình thoi).

Gọi O là giao điểm của AC và BD $\Rightarrow \widehat{AOD}={90}^{\circ }$

Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AO=\frac{AC}{2}\\ DO=\frac{BD}{2}\end{array}\right.$(tính chất hai đường chéo cắt nhau của hình thoi).

Xét tam giác AOD vuông tại O ta có:

$$\begin{gathered} A{D}^2=A{O}^2+O{D}^2 \\ \iff {17}^2={\left(\frac{AC}{2}\right)}^2+{\left(\frac{BD}{2}\right)}^2 \end{gathered}$$

 $\iff 289=\frac{A{C}^2}{4}+\frac{B{D}^2}{4}$  (2)

Từ (1) ta có: AC = 46 – BD  thay vào (2) ta có:

$$\begin{gathered} 289=\frac{{(46-BD)}^2}{4}+\frac{B{D}^2}{4} \\ \iff 289=\frac{2116-92BD+B{D}^2}{4}+\frac{B{D}^2}{4} \\ \iff 289=\frac{2116-92BD+2B{D}^2}{4} \\ \iff 289=\frac{2(1058-46BD+B{D}^2)}{4} \\ \iff 289=\frac{1058-46BD+B{D}^2}{2} \\ \iff 1058-46BD+B{D}^2=289.2 \\ \iff 1058-46BD+B{D}^2-578=0 \\ \iff B{D}^2-46BD+480=0 \\ \iff B{D}^2-30BD-16BD+480=0 \\ \iff BD(BD-30)-16(BD-30)=0 \\ \iff (BD-30)(BD-16)=0 \\ \iff \mathrm{[}\begin{array}{c}BD-30=0\\ BD-16=0\end{array} \\ \iff [\begin{array}{c}BD=30cm\\ BD=16cm\end{array} \end{gathered}$$

Trường hợp 1: Với BD = 30cm $\Rightarrow$ AC = 16cm

Diện tích hình thoi ABCD cần tính là:

S = $\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}\mathrm{.16.30}=240c{m}^2$

Trường hợp 2: Với BD = 16cm $\Rightarrow$ AC = 30cm (trái với giải thuyết AC < BD)

Vậy diện tích hình thoi cần tính là  240cm².

Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có BD = 10cm, AC = 6cm. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

b) Tính diện tích hình thoi ABCD.

Lời giải:

a) Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}EF//AC\\ EF=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.$(Tính chất đường trung bình trong tam giác)   (1)

Vì H là trung điểm của AD, G là trung điểm của CD nên HG là đường trung bình của tam giác ADC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}HG//AC\\ HG=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.$  (tính chất đường trung bình trong tam giác)   (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}HG//EF\\ HG=EF\end{array}\right.$

Xét tứ giác EFGH có:

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}HG//EF\\ HG=EF\end{array}\right.$(chứng minh trên)

$\Rightarrow$ Tứ giác EFGH là hình bình hành

Lại có H là trung điểm của AD; E là trung điểm của AB nên HE là đường trung bình của tam giác ABD

$\Rightarrow HE//BD$ (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Mà $BD\perp AC$ (tính chất hai đường chéo của hình thoi)

Do đó (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Mà AC // EF (theo (1))

Nên $HE\perp EF$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

$\Rightarrow \widehat{HEF}={90}^{\circ }$

Xét hình bình hành EFGH có $\widehat{HEF}={90}^{\circ }$ nên hình bình hành EFGH là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Diện tích hình thoi ABCD là:

S = $\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}\mathrm{.6.10}=30c{m}^2$

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho một hình thoi, biết độ dài các đường chéo là 15 và 20 (cm). Diện tích của hình thoi đó là

A. 150 cm²;

B. 100 cm²;

C. 120 cm²;

D. 140 cm².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Diện tích của hình thoi là: S = 0,5.15.20 = 150 (cm²).

Bài 2. Cho hình thoi ABCD cạnh 10 cm, O là giao điểm của hai đường chéo. Biết độ dài đoạn thẳng AO là 8cm. Diện tích hình thoi ABCD là

A. 100 cm²;

B. 96 cm²;

C. 90 cm²;

D. 92 cm².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác OAB, ta có:

BO = $\sqrt{A{B}^2-A{O}^2}=\sqrt{{10}^2-8^2}$ = 6 (cm).

Diện tích của hình thoi là:

S = 0,5.AC.BD = 0,5.(2.AO).(2.BO) = 2.8.6 = 96 (cm²).

Bài 3. Cho hình thoi ABCD có độ dài của hai đường chéo là 18 cm và 12 cm. Hình vuông EFGH có độ dài các cạnh là 10 cm. Khẳng định nào sau đây đúng

A. Diện tích ABCD bằng diện tích EFGH.

B. Diện tích ABCD lớn hơn diện tích EFGH.

C. Diện tích ABCD bé hơn diện tích EFGH.

D. Diện tích ABCD gấp 2 lần diện tích EFGH.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: S_ABCD = 0,5.18.12 = 108 (cm²); S_EFGH  = 10² = 100 (cm²).

Suy ra diện tích ABCD lớn hơn diện tích EFGH.

Bài 4. Cho hình thoi ABCD biết độ dài các cạnh của hình thoi là 8cm, góc tại đỉnh A của hình thoi có độ lớn là 60°. Diện tích của hình thoi là

A. 32 cm²;

B. 60 cm²;

C. 64 cm²;

D. $32\sqrt{3}$ cm².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có S_ABCD = 2S_ABD = $AB.AD.\sin \widehat{A}$ = $\mathrm{8.8.}\sin 60°=32\sqrt{3}$ (cm²)

Bài 5. Một vườn hoa hình thoi có diện tích là 120m², biết độ dài của một đường chéo là 16 m. Độ dài đường chéo còn lại của vườn hoa là

A. 15 m;

B. 10 m;

C. 12 m;

D. 16 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi độ dài đường chéo còn lại của vườn hoa là x (m) (x > 0).

Khi đó ta có: 120 = 0,5x.16

8x = 120

x = 15

Vậy độ dài đường chéo còn lại của vườn hoa là 15 m.

Bài 6. Một hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo là 50m. Biết cạnh của hình thoi có độ dài bằng một trong hai đường chéo. Diện tích của hình thoi gần nhất với giá trị nào sau đây

A. 270 m²;

B. 280 m²;

C. 300 m²;

D. 290 m².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng độ dài của đường chéo BD.

Khi đó dễ dàng nhận thấy tam giác ABD là một tam giác đều.

AC = 2.AO = 2.AB.sin60° = $AB\sqrt{3}$ = $BD\sqrt{3}$.

Ta có: BD + AC = BD.$\left(1+\sqrt{3}\right)$ = 50.

Do đó BD ≈ 18,3 m; AC ≈ 31,7 m.

Diện tích của hình thoi là: S = 0,5.18,3.31,7 = 290,055 (m²).

Bài 7. Nếu tăng độ dài cạnh của một hình thoi lên 2 lần thì diện tích của hình thoi đó thay đổi như thế nào?

A. Diện tích hình thoi không thay đổi.

B. Diện tích hình thoi tăng lên 4 lần.

C. Diện tích hình thoi giảm đi 2 lần.

D. Diện tích hình thoi tăng lên 2 lần.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Cho a là độ dài các cạnh của hình thoi (a > 0).

Ta có: S_ABCD = 2S_ABD = 2.0,5.AB.AD.$\sin \widehat{A}$ = a².$\sin \widehat{A}$.

Ta nhận thấy diện tích hình thoi tỉ lệ với bình phương độ dài các cạnh.

Do đó khi độ dài các cạnh tăng lên 2 lần thì diện tích của hình thoi tăng lên 4 lần.

Bài 8. Diện tích của hình thoi có độ dài đường chéo là 15 cm và 12 cm là

A. 80 cm²;

B. 86 cm²;

C. 90 cm²;

D. 100 cm².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Diện tích của hình thoi có độ dài đường chéo là 15 và 12 cm là:

S = 0,5.15.12 = 90 (cm²).

Bài 9. Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh là 5cm, đường chéo AC = 8 cm. Diện tích hình thoi là

A. 24 cm²;

B. 20 cm²;

C. 16 cm²;

D. 21 cm².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: BD = $2\sqrt{A{B}^2-\frac{A{C}^2}{4}}=2\sqrt{5^2-\frac{8^2}{4}}$ = 6 (cm).

Diện tích của hình thoi: S = 0,5.BD.AC = 0,5.6.8 = 24 (cm²).

Bài 10. Một hình thoi có chu vi 40cm, có một góc nhọn độ lớn là 30°. Diện tích của hình thoi là

A. 40 cm²;

B. 30 cm²;

C. 50 cm²;

D. 45 cm².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Độ dài cạnh của hình thoi là: $\frac{40}{4}$ = 10 (cm).

Diện tích của hình thoi là: S = 2.0,5.10².sin30° = 50 (cm²).

Xem thêm các Công thức Toán lớp 8 quan trọng hay khác:

• Công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc hay, chi tiết

• Công thức tính diện tích đa giác hay, chi tiết

• Hai phân thức bằng nhau hay, chi tiết

• Tính chất cơ bản của phân thức hay, chi tiết

• Công thức quy đồng mẫu thức hay, chi tiết

---

---

---