Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang (siêu hay)

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang (siêu hay)

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang Toán lớp 8 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 8.

Bài viết Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang gồm 2 phần: Lý thuyết và Bài tập áp dụng có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang Toán 8.

I. Lý thuyết

1. Đường trung bình của tam giác

a) Định nghĩa:

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh tam giác đó.

b) Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

c) Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ba.

Xét hình vẽ:

 

Tam giác ABC có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm AC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

 

2. Đường trung bình của hình thang.

a) Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên hình thang.

ABCD là hình thang, AB // CD

E là trung điểm AD, F là trung điểm BC

EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

b) Định lí 2: Đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh bên thứ nhất và song song với cạnh đáy thì nó đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai của hình thang.

c) Định lí 3: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Xét hình thang ABCD có đường trung bình là FE

 

                      

II. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E, kẻ tia My song song với AB và cắt AC tại F. Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của tam giác ABC.

b) AM là đường trung trực của EF

Lời giải:

a)

+ Vì Mx // AC, Mx qua trung điểm M của BC nên Mx đi qua trung điểm của AB

Mà Mx cắt AB tại E nên E là trung điểm của AB (1)

+ Vì My // AB, My đi qua trung điểm M của BC nên My đi qua trung điểm của AC.

Mà My cắt AC tại F nên F là trung điểm của AC (2)

Từ (1) và (2)  EF là đường trung bình của tam giác ABC

b) Vì ABC là tam giác cân tại A nên AM là đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao

=> AM ⊥ BC 

Vì EF là đường trung bình của tam giác ABC

=> EF // BC
 mà AM ⊥ BC

=> EF ⊥  AM (3)

Gọi I là giao điểm của EF và AM

Vì MF // AB, M là trung điểm của BC nên MF là đường trung bình của tam giác ABC 

 

Ta có: MF // AB => MF // AE

nên MF = AE

Lại có: MF // AE 

(hai góc so le trong)

Xét tam giác IEA và tam giác IFM có

 

 => ΔIEA = ΔIFM (cạnh huyền – góc nhọn) 

=> IE = IF (4)

Từ (3) và (4) => AM là đường trung trực của EF.

Bài 2:  Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh:

a) ΔAFD cân tại F

b)  

Lời giải:

 Vì E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

=> EF // AB mà AB ⊥ AD

=> AF ⊥ AD 

Xét tam giác AFE và tam giác DFE có

 

=> ΔAFE = ΔDFE (c – g – c)

=> AF = DF (hai cạnh tương ứng)

=> ΔAFD là tam giác cân tại F.

b) Vì tam giác AFD cân tại F

=>  (hai góc tương ứng)   (1)

Ta có: 

 

Từ (1) và (2) =>  (điều phải chứng minh)

Xem thêm các Công thức Toán lớp 8 quan trọng hay khác:

• Công thức Hình thang

• Công thức Hình bình hành

• Công thức Đối xứng trục

• Công thức Hình chữ nhật

• Công thức Đối xứng tâm

---