Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Toán lớp 8

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Nhằm mục đích giúp học sinh dễ dàng nhớ và nắm vững các công thức Toán lớp 8, VietJack biên soạn tài liệu Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đầy đủ công thức, lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh vận dụng và làm bài tập thật tốt môn Toán lớp 8.

I. Lý thuyết

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức.

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

A.B + A.C = A( B + C )

Giải thích: Phương pháp đặt nhân tử chung trong phân tích đa thức thành nhân tử là nhóm các hạng tử có nhân tử chung.

Ví dụ:

a) 3x² + 6x 

= 3x.x + 3x.2

= 3x.( x + 2 )

b) x²y + xy² + x²y²

= xy.x + xy.y + xy.xy

= xy ( x +y + xy )

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

( a + b )² = a² + 2ab + b²

( a - b )² = a² - 2ab + b²  

a² - b² = ( a - b )( a + b )

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

a³ + b³ = ( a + b )( a² - ab + b² )

a³ - b³ = ( a - b )( a² + ab + b² ) 

Giải thích: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức là áp dụng các hằng đẳng thức đó để biến tổng thành tích

Ví dụ:

a) 4x² - 16y²

= ( 2x )² - ( 4y )²

= ( 2x - 4y )(2x + 4y)

b) x³ + 6x² + 12x + 7

= x³ + 6x² + 12x + 8 - 1

= x³ + 3.x.2 + 3.x.2² + 2³ - 1

= ( x + 2 )³ - 1

= ( x + 2 -1 ) [( x + 2 )² + ( x + 2 ) + 1]

= ( x + 1 )( x² + 4x + 4 + x + 2 + 1 )

= ( x + 1 )( x² + 5x + 7 )

3. Phương pháp nhóm hạng tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử là nhóm các hạng tử phù hợp nhằm xuất hiện nhân tử chung hoặc sử dụng các hằng đẳng thức.

Ví dụ:

a) x² - 3x + xy - 3y

= ( x² - 3x ) + ( xy - 3y )

= x( x - 3 ) + y ( x-3 )

= ( x - 3 )( x + y )

b) x² - 2x - y² + 1

= x² - 2x + 1 - y²

= ( x² - 2x + 1 ) - y²

= ( x - 1 )² - y²

= ( x - 1 - y )( x - 1 + y )

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp là sửa dụng kết hợp hai hay nhiều phương pháp như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử.

Ví dụ:

2x - 2y + y² - 2xy + x² 

= ( 2x - 2y ) + ( y² - 2xy + x² )

= 2( x - y ) + ( x² - 2xy + y² )

= 2( x- y ) + ( x - y )²

= ( x- y )[ 2 + ( x - y)]

5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử.

Giải thích: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử là tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, sau đó sử dụng phương pháp nhóm hạng tử.

Ví dụ:

x² + 5x + 6

= x² + 2x + 3x + 6

= ( x² + 2x ) + ( 3x + 6 )

= x( x + 2 ) + 3( x + 2 )

= ( x + 2 )( x + 3 )

Chú ý: Với đa thức có dạng ax² + bx + c với ( a ≠ 0 ) ta tách bx = b₁x + b₂x sao cho b₁b₂ = ac

6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ là đặt các hạng tử giống nhau thành biến mới để đưa đa thức đã cho về một đa thức với biến mới vừa đặt. Sau đó áp dụng các phương pháp cơ bản.

Ví dụ: 

x⁴ + 3x² - 4

Đặt x² = t ( t ≥ 0 )

Khi đó đa thức ban đầu trở thành:

t² + 3t - 4

= t² + 4t - t - 4

= t( t + 4 ) - ( t + 4 )

= ( t + 4 )( t - 1 )

Đổi biến t thành x² nên ta có

x⁴ + 3x² - 4 = ( x² + 4 )( x² - 1 )

7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử là thêm bớt các hạng tử mới để cùng với các hạng tử cũ có thể ghép thành hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

x⁴ + 4

                                                                       Lời giải:

x⁴ + 4

= ( x² )² + 2² 

= ( x² )² + 4x² - 4x² + 2²

= ( x2 )² + 4x² + 2² - 4x²

= (( x²)²+ 4x²+ 2² ) - (2x)²

= (( x²)²+ 2.x².2+ 2² ) - (2x)²

= ( x² + 2 )² - (2x)²

= ( x² + 2 - 2x )( x² + 2 + 2x )

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

a) x² - 6x

b) 3( x - y ) - 5x ( y - x )

c) 4x - 6y

d) 5( x + 3y ) - 15x( x  + 3y )

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

a) ( x - 3 )² - ( 5 - 2x )²

b) ( x + y )² - x² + 4xy - 4y²

c) ( x + y )³ - ( x - y )³

d) x³ + y³ + z² - 3xyz

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

a) x⁴ - 9x³ + x² - 9x

b) 3x² + 5y - 3xy + ( -5x )

c)  x² + y – xy - x

d) 2xy + 3z + 6y +xz

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x² + 4x - 12

b) 2x² - 3x - 2

c) x⁴ + 2x² - 8

d) x² - 2xy - 3y²

e) ( 2x + 1 )⁴ - 3( 2x + 1 )² + 2

f) 64x⁴ + 1

g) 81x⁴ + 4

h) x⁵ + x + 1

i) x⁴ + 4

Xem thêm các công thức Toán lớp 8 chọn lọc, hay khác:

• Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức
• Chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp
• Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức
• Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
• Hằng đẳng thức số 1

---