Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp
Cách giải Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp lớp 9 với phương pháp giải chi tiết và bài tập đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp.
Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp
A. Phương pháp giải
1. Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác đó gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
2. Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
3. Bất cứ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
Trong đa giác đều tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.
B. Bài tập tự luận
Bài 1: Nêu cách vẽ tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước. Tính cạnh của tam giác ABC theo R.
Hướng dẫn giải
Cách vẽ:
Trên đường tròn (O; R) cho trước đặt liên tiếp các điểm A, M, B, N, C, P sao cho .
Nối AB, BC, CA ta được tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R).
Thật vậy:
=> AB = BC = CA
Do đó tam giác ABC đều.
* Tính cạnh của tam giác ABC theo R.
Vì ΔABC đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là trực tâm và trọng tâm của ΔABC
Nối AO cắt BC tại H ta có: OA = 2/3AH
Mà OA = R => AH = 3/2 R
Xét ΔABH vuông tại H nên:
AB2 = AH2 + BH2
⇔ AB2 = 3R2
⇔ AB = √3 R
Vậy cạnh của ΔABC là AB = BC = CA = √3R .
Bài 2: Cho đa giác đều n cạnh A1A2..An có O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đó và a là độ dài cạnh đa giác. Tính bán kính R, r của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp đa giác đó theo a và n.
Hướng dẫn giải
Vì A1A2..An là đa giác đều và O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác nên O cũng là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đó.
Nối OA1, OA2 và kẻ OH ⊥ A1A2 .
Xét ΔOA1H vuông tại H có:
Lại có: OH = r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác và OH = A1H. cotg ∠A1OH = a/2 cotg (180o/n)
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi đa giác đều có cùng số cạnh thì tỉ số giữa chu vi đa giác với đường kính của đường tròn ngoại tiếp không phụ thuộc độ dài của đường kính.
Hướng dẫn giải
Xét hai đa giác đều cạnh: A1A2..An có độ dài cạnh là a và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R1
Đa giác đều B1B2..Bn có độ dài cạnh là b và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R2
Theo ví dụ 2 ta có:
=> Chu vi đa giác A1A2..An là: p1 = n.a = 2R1.n.sin (180o/n)
Do đó p1 /2R1 = n.sin (180o/n) = p2 / 2R2
Vậy tỉ số giữa chu vi và độ dài đường kính của đường tròn ngoại tiếp một đa giác đều không phụ thuộc vào độ dài đường kính.
Bài 4: Trên đường tròn (O; R) lần lượt đặt theo cùng một chiều kẻ từ điểm A, cung AB = 45o , cung BC = 90o , cung CD = 45o .
a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
b) Tính chu vi và diện tích tứ giác ABCD theo R.
Hướng dẫn giải
=> A, O, D thẳng hàng.
Vì Sđ BC = 90o suy ra ΔBOC vuông cân ở O nên: ∠OBC = 45o => ∠OBC = ∠BOA
Mà hai góc này ở vị trí so le trong, suy ra BC // AD (1)
Lại có: Sđ BD = Sđ AC = 90o + 45o = 135o (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân.
b) Vì tam giác BOC vuông cân tại O nên: BC2 = OB2 + OC2 = 2R2
=> BC = √2R
Gọi I là điểm chính giữa của cung BC , nối AI cắt OB tại H.
Dễ thấy ΔAHO vuông cân tại H, có OA = R => AH = R√2/2 = HO
Do đó: BH = OB - OH = R - R√2/2 .
Xét ΔABH vuông tại H nên:
AB2 = AH2 + BH2
Vậy chu vi hình thang ABCD là:
Dễ thấy: SΔABO = SΔCDO = R2√2 /4
SΔCBO = R2/2
Do đó diện tích của hình thang ABCD là:
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm C, tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn tại M. Tạo đường cao AH. Hãy chứng minh:
a) M là trung điểm của dây BC;
b) AM là tia phân giác của góc OAH.
Bài 3. Cho tam giác ABC có các đường cao là BD, CE. Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D,C cùng nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Hạ các đường cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M, N. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, E, B, D cùng nằm trên một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó;
b) MN // DE;
c) Cho đường tròn (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi.
Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung BC không chứa A. Gọi D, E lần lượt đối xứng với M qua AB, AC. Tìm vị trí của M để độ dài đoạn thẳng DE lớn nhất.
Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
- Chuyên đề Đại Số 9
- Chuyên đề: Căn bậc hai
- Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
- Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn số
- Chuyên đề Hình Học 9
- Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Chuyên đề: Đường tròn
- Chuyên đề: Góc với đường tròn
- Chuyên đề: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu
Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k10 (2025):
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 9 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
- Lớp 9 Kết nối tri thức
- Soạn văn 9 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 9 (ngắn nhất) - KNTT
- Giải sgk Toán 9 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 9 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 9 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - KNTT
- Giải sgk Tin học 9 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 9 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 9 - KNTT
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - KNTT
- Lớp 9 Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 9 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 9 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 9 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 9 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 9 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - CTST
- Giải sgk Tin học 9 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 9 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 9 - CTST
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - CTST
- Lớp 9 Cánh diều
- Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều