Góc có đỉnh bên trong, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
Cách giải Góc có đỉnh bên trong, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn lớp 9 với phương pháp giải chi tiết và bài tập đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Góc có đỉnh bên trong, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.
Góc có đỉnh bên trong, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
A. Phương pháp giải
Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bi chắn (một cung nằm giữa hai cạnh của góc và cung kia nằm giữa các tia đối của hai cạnh ấy).
Số đo của góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn bằng nửa hiệu của số đo của hai cung bị chắn.
B. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ phân giác trong AD của góc A (D ≠ (O)). Lấy điểm E thuộc cung nhỏ AC. Nối BE cắt AD và AC lần lượt tại I và tại K, nối DE cắt AC tại J. Chứng minh rằng:
a) ∠BID = ∠AJE .
b) AI.JK = IK.EJ.
Hướng dẫn giải
a) Ta có ∠BID là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn (O) chắn hai cung BD và cung AE
∠AJE là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn (O) chắn hai cung CD và AE
Mà AD là phân giác của góc A nên
Suy ra ∠BID = ∠ẠJE
b) Xét ΔAIK và ΔEJK có:
+) ∠AKI = ∠EKJ (đối đỉnh)
+) ∠IAK = ∠KEJ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau BD và cung CD )
Do đó ΔAIK ∼ ΔEJK (g.g)
=> AI/EJ = IK/JK => AI.JK = IK.EJ
Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A, B sao cho O ≠ (O'). Lấy điểm M thuộc đường tròn (O’), M ở trong đường tròn (O). Tia AM và BM cắt đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng:
b) Tứ giác ABCD là hình thang cân.
Hướng dẫn giải
a) Vì ∠AMB là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn (O) chắn hai cung AB và CD nên:
Mặt khác: ∠AMB = ∠AOB (hai góc nội tiếp (O’) cùng chắn cung AB lớn)
∠AOB = Sđ AB (góc ở tâm đường tròn (O)).
b) Trong đường tròn (O):
Vì hai góc này ở vị trí so le trong,
suy ra AD // BC (1)
Theo câu a), ta có: ∠ADC = ∠DAB (2 góc chắn 2 cung bằng nhau)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân.
Bài 3: Cho ΔABC đều nội tiếp đường tròn (O). Điểm I chuyển động trên cung nhỏ BC. AB cắt CI tại M, AC cắt BI tại N. Chứng minh rằng:
a) BC2= BM.CN
b) ∠AIN có số đo không đổi.
Hướng dẫn giải
a) Vì ΔABC đều nên:
Ta có: ∠ANB là góc có đỉnh ngoài đường tròn (O) nên:
Lại có:
Suy ra ∠ANB = ∠BCI (1)
Tương tự ta có: ∠AMC = ∠CBI (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ΔBCM ∼ ΔCNB => BC/NC = BM/BC => BC2 = BM.NC
b) Ta có: ∠AIB = ∠ACB = 60o
=> ∠AIN = 180o - ∠AIB = 120o không đổi
Bài 4: Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD với đường tròn (C nằm giữa A và D). Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác của ∠BAC, BM cắt CD tại I. Chứng minh rằng:
a) BM là tia phân giác của
b) MD2 = MI.MB
Hướng dẫn giải
Giả sử tia phân giác của ∠BAC cắt BC tại E, cắt BD tại E và cắt đường tròn (O) tại K.
a) Ta có:
Mà ∠A1 = ∠A2 (gt)
⇔ ∠BEF = ∠BFE
=> ΔBEF cân tại B.
Mà BM là đường cao của ΔBEF
Suy ra BM là tia phân giác của ∠CBD
b) Vì BM là phân giác của ∠CBD
Do đó: ΔMDI ∼ ΔMBD (g.g)
=> MD2 = MI.MB
Bài 5: Cho đường tròn (O) và dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm E nằm ngoài đường tròn. Đường thẳng kẻ từ E song song với AD cắt BC tại F. Kẻ tiếp tuyến FG với đường tròn (O). Chứng minh rằng:
b) ΔFEC ∼ ΔFBE, từ đó suy ra EF2 = FB.FC
Hướng dẫn giải
Gọi I là giao điểm AD và BC.
a) Vì AD // EF => ∠EFC = ∠AIB (đồng vị)
b) Ta có: ∠ABC = ∠ADC = 1/2 SđAC
Mà AD // EF => ∠ADC = ∠DEF (so le trong)
Do đó: ΔFEC ∼ ΔFBE
Do đó EF2 = FB.FC
Bài 6: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) lần lượt lại các điểm A, B, C, D. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF của hai đường tròn (E ≠ (O), F ≠ (O')) . Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là giao điểm của EB và DC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.
b) MN ⊥ AD
c) ME.MA = MF.MD.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: ∠AEB = ∠CFD = 90o
Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) nên
OE ⊥ EF
OF' ⊥ EF
=> OE // OF'
=> ∠EOB = ∠FO'D (đồng vị)
=> ∠EAO = ∠FCO'
Do đó MA // FN, mà EB ⊥ MA => EB ⊥ FN.
Hay ∠FNB = 90o
Tứ giác MENF có ∠E = ∠N = ∠F = 90o nên là hình chữ nhật.
b) Gọi I là giao điểm của MN và EF, H là giao điểm của MN và AD. Vì tứ giác MENF là hình chữ nhật nên ∠IFN = ∠INF .
Mặt khác trong đường tròn (O’): ∠FDO = ∠IFN = 1/2Sđ FC.
Do đó: ∠FDC = ∠HNC
Suy ra: ΔFDC ∼ ΔHNC (g.g) => ∠NHC = ∠DFC = 90o hay MN ⊥ AD
c) Ta có: ∠MFE = ∠FEN (do MENF là hình chữ nhật).
Trong đường tròn (O): ∠FEN = ∠EAB = 1/2Sđ EB
Do đó:∠MFE = ∠EAB .
Suy ra: ΔMEF ∼ ΔMDA (g.g)
=> ME/MD = MF/MA => ME.MA = MF.MD
Bài 7: Trên đường tròn (O; R) đặt liên tiếp các dây cung: AB = BC = CD < R. AB cắt CD tại E. Tiếp tuyến tại B và D với đường tròn (O) cắt nhau tại F. Chứng minh rằng:
a) ΔEBC ∼ ΔFBD
b) ΔEBF ∼ ΔCBD
c) BC // EF.
Hướng dẫn giải
Do AB = BC = CD nên
a) Ta có:
Vậy: ∠BEC = ∠BFD (1)
Ta có: ∠DBC = ∠CBF = 1/2Sđ BC = 1/2Sđ AB = ∠ABx = ∠FBE
Suy ra: ∠CBE = ∠DBF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ΔBCE ∼BDF (g.g)
b) Ta có: ∠EBF = ∠CBD .
Mặt khác theo câu a) suy ra: BF/BE = BD/BC
Do đó: ΔBCE ∼ ΔCBD (g.g)
c) Vì ∠EFB = ∠CDB = ∠CBF
Mà ∠EFB và ∠CBF ở vị trí so le trong nên BC // EF.
Bài 8: Cho tứ giác ABCD có A, B, C, D nằm trên đường tròn (O); AB và CD cắt nhau tại M; AD và BC cắt nhau tại N.
a) Tính số đo các góc của tứ giác ABCD nếu ∠AMD = 30o và ∠BND = 40o .
b) Hai phân giác của góc M và góc N cắt nhau tại I. Chứng minh rằng IM ⊥ IN
Hướng dẫn giải
a) Trong đường tròn (O):
ΔCND có : ∠N + ∠D + ∠C = 180o (1)
ΔAMD có : ∠A + ∠D + ∠M = 180o (2)
=> ∠M + ∠N + ∠A + ∠C + 2∠D = 360o
=> ∠D = 55o
Thay vào (1) suy ra ∠C = 85o
Thay vào (2) suy ra ∠A = 95o
Do đó ∠B = 125o .
b) Giả sử MI cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F; cắt NC, ND lần lượt tại P và Q.
Vì MI là phân giác của góc ∠M nên ∠AMF = ∠DMF
=> ΔNPQ cân tại N
Mặt khác: NI là phân giác của ∠N, suy ra NI ⊥ PQ hay MI ⊥ NI
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến MC tại C và cát tuyến MAB (A nằm giữa M và B). Gọi D là điểm chính giữa của cung AB không chứa C; CD cắt AB tại I. Chứng minh:
a) ;
b) MI = MC.
Bài 2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Các tia AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F. Dây È cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh:
a) BI = DB;
b) AM = AN;
c) I là trực tâm tam giác DEF.
Bài 3. Cho tam giác ABC phân giác AD. Vẽ đường trong (O) đi qua A, D và tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh:
a) EF // BC;
b) AD2 = AE.AC;
c) AE.AC = AB.AF.
Bài 4. Cho (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đường kính AB lấy điểm E sao cho AE = . Vẽ dây CF đi qua E. Tiếp tuyến của đường tròn tại F cắt CD tại M, vẽ dây AF cắt CD tại N. Chứng minh:
a) Tia CF là tia phân giác của góc BCD;
b) MF và AC song song;
c) MN, OD, OM là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông.
Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I và cắt (O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh:
a) Các tam giác AMN, EAI và DAI là những tam giác cân;
b) Tứ giác AMIN là hình thoi.
Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
- Chuyên đề Đại Số 9
- Chuyên đề: Căn bậc hai
- Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
- Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn số
- Chuyên đề Hình Học 9
- Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Chuyên đề: Đường tròn
- Chuyên đề: Góc với đường tròn
- Chuyên đề: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu
Tủ sách VIETJACK shopee luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn Văn 9
- Soạn Văn 9 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 9
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Toán 9
- Giải sách bài tập Toán 9
- Đề kiểm tra Toán 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề Toán 9
- Giải bài tập Vật lý 9
- Giải sách bài tập Vật Lí 9
- Giải bài tập Hóa học 9
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Hóa học 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Sinh học 9
- Giải Vở bài tập Sinh học 9
- Chuyên đề Sinh học 9
- Giải bài tập Địa Lí 9
- Giải bài tập Địa Lí 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9 thí điểm
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9 mới
- Giải bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập Lịch sử 9 (ngắn nhất)
- Giải tập bản đồ Lịch sử 9
- Giải Vở bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập GDCD 9
- Giải bài tập GDCD 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 9
- Giải bài tập Tin học 9
- Giải bài tập Công nghệ 9