Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn (siêu hay)

Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn Toán 9 sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 9.

Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn

1. Công thức

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Tính biệt thức ∆ = b² – 4ac.

⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = $\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$; x₂ = $\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$.

⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = $-\frac{b}{2a}$.

⦁ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), với b = 2b' và ${\Delta }^{\text{'}}={b^{\text{'}}}^2–4ac$

⦁ Nếu ∆’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = $\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}$; x₂ = $\frac{-b^{\text{'}}-\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}$.

⦁ Nếu ∆’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = $-\frac{b^{\text{'}}}{a}$.

⦁ Nếu ∆’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Áp dụng công thức nghiệm, giải các phương trình sau:

a) 3x² – 6x + 1 = 0;

b) x² – 4x + 4 = 0;

c) – 5x² – 4x  – 11 = 0.

Hướng dẫn giải

a) 3x² – 6x + 1 = 0

Ta có: a = 3, b = – 6 và c = 1.

Khi đó: ∆ = b² – 4ac = (–6)² – 4.3.1 = 24 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x₁ = $\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{6+\sqrt{24}}{2\cdot 3}=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$; 

x₂ = $\frac{b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{6-\sqrt{24}}{2\cdot 3}=\frac{3-\sqrt{6}}{3}$.

b) x² – 4x + 4 = 0

Ta có: a = 1, b = – 4 và c = 4.

Khi đó: ∆ = b² – 4ac = (–4)² – 4.1.4 = 0.

Do đó, phương trình có nghiệm kép là:

x₁ = x₂ = $-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}$ = 2.

c) –5x² – 4x  – 11 = 0

Ta có: a = – 5, b = – 4 và c = – 11.

Khi đó: ∆ = b² – 4ac = (–4)² – 4.(–5).(–11) = – 204 < 0.

Do đó, phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2. Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau:

a) 3x² + $2\sqrt{3}x$ + 1 = 0;

b) 5x² + $\frac{10}{7}x+\frac{10}{49}$ = 0;

c) x² – 4$\frac{10}{49}$.x + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

a) 3x² + $2\sqrt{3}x$ + 1 = 0

Ta có: a = 3, b' = $-\sqrt{3}$ và c = 1.

Khi đó: ∆’ = b’² - ac = ${\left(-\sqrt{3}\right)}^2$ - 3.1 = 0.

Do đó, phương trình có nghiệm kép là: x₁ = x₂ = $-\frac{b^{\text{'}}}{a}=-\frac{-\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) 5x² + $\frac{10}{7}x+\frac{10}{49}$ = 0

Ta có: a = 5, b' = $-\frac{5}{7}$ và c = $\frac{10}{49}$.

Khi đó ∆' = b’² - ac = ${\left(-\frac{5}{7}\right)}^2-5\cdot \frac{10}{49}$ = $-\frac{25}{49}$ < 0.

Do đó, phương trình vô nghiệm.

c) x² – 4x + 1 = 0

Ta có a = 1, b’ = –2, c = 1.

Khi đó ∆’ = b'² - ac = ${\left(-\frac{5}{7}\right)}^2-5\cdot \frac{10}{49}$ = $-\frac{25}{49}$ < 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x₁ = $\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}$; 

x₂ = $\frac{-b^{\text{'}}-\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{3}}{1}=2-\sqrt{3}$.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau.

a) 3x² + 7x + 2 = 0;

b) 2x² – x + 10 = 0;

c) – 5x² – 4x + 1 = 0;

d) 9x² – 6x + 1 = 0;

e) x² – 7x + 10 = 0;

f) x² – $\left(2-\sqrt{3}\right)x+5\sqrt{3}$ = 0.

Bài 2. Đưa các phương trình sau về dạng ax² + bx + c = 0 và giải phương trình đó:

a) 3x² + 3 = 2(x + 1);

b) $\frac{1}{2}x\left(x+1\right)={\left(x-1\right)}^2$;

c) ${\left(2x-\sqrt{2}\right)}^2-1=\left(x+1\right)\left(x-1\right)$;

d) (x + 2)(3x – 1) = 2(x – 2) – 2x;

e) $\frac{x^2-9}{3}=x\left(1-x\right)-2$;

f) $\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{2}=\frac{2x\left(x-3\right)}{3}-\frac{3}{2}$.

Bài 3. Xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 3x² – 6x + 8 = 0;

b) 9x² – 12x + 4 = 0;

c) x² + 6x + 2 = 0;

d) 2x² + $2\sqrt{3}x$ - 3 = 0;

e) 2x² – 7x + 10 = 0;

f) $x^2-\left(\sqrt{3}-2\right)x-3+\sqrt{3}=0$;

g) (x – 1)³ + 0,5x² = x(x²  +1,5);

h) (5x² + 11)² = (3x² – 7x + 8)².

Bài 4. Tìm các giá trị của m để phương trình 2x² – (4m + 3)x + 2m² – 1 = 0 có nghiệm.

Bài 5. Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 9 quan trọng hay khác:

• Công thức đưa thừa số vào trong dấu căn

• Công thức về căn bậc hai và căn thức bậc ba

• Công thức trục căn thức ở mẫu

• Định lí Viète cho phương trình bậc hai một ẩn

• Công thức nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

• Công thức viết phương trình bậc hai một ẩn khi biết tổng và tích hai nghiệm của chúng

---