Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu (siêu hay)

Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu Toán 9 sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 9.

Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu

1. Công thức

a) Diện tích mặt cầu

Diện tích mặt cầu có bán kính R là: S = 4πR².

b) Thể tích của hình cầu

Thể tích của hình cầu có bán kính R là: V = $\frac{4}{3}\pi R^3$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu trong mỗi trường hợp sau:

a) Bán kính bằng 6 dm.

b) Đường kính bằng 50 dam.

c) Chu vi đường tròn lớn bằng 24π cm.

Hướng dẫn giải

a) Diện tích mặt cầu là:

S = 4πR² = 4π.6² = 144π (dm²).

Thể tích hình cầu là:

V = $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3=288\pi$ (dm³).

b) Bán kính mặt cầu là: R = $\frac{50}{2}$ = 25 (dam).

Diện tích mặt cầu là:

S = 4πR² = 4π.25² = 2 500π (dam²).

Thể tích hình cầu là:

V = $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot {25}^3=\frac{62500}{3}\pi$ (dam³).

c) Ta có công thức tính chu vi đường tròn lớn của hình cầu là: C = 2πR.

Theo bài, ta có: 2πR = 24π

Suy ra R = 12 (cm).

Diện tích mặt cầu là:

S = 4πR² = 4π.12² = 576π (cm²).

Thể tích hình cầu là:

V = $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot {12}^3=2304\pi$ (cm³).

Ví dụ 2. Một bể cá có dạng một phần hình cầu với đường kính bằng 36 mm. Khi nuôi cá, người ta thường đổ vào bể lượng nước có thể tích bằng $\frac{2}{3}$ thể tích của bể cá.

a) Tính diện tích của đường tròn lớn của bể cá.

b) Tính thể tích của bể cá.

c) Người ta đã đổ vào bể cá bao nhiêu lít nước (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Hướng dẫn giải

a) Bán kính của bể cá là: R = $\frac{36}{2}$ = 18 (m).

Diện tích của đường tròn lớn của bể cá là:

S = π.R² = π.18² = 324π (cm²).

b) Thể tích của bể cá là:

V = $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot {18}^3=7776\pi$ (cm³).

c) Thể tích nước đổ vào bể cá là:

$\frac{2}{3}V=\frac{2}{3}\cdot 7776\pi =5184\pi \approx 16286$ (cm³) = 16,286 (dm³) = 16,286 (l).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu trong mỗi trường hợp sau:

a) Bán kính bằng 6 dm.

b) Đường kính bằng 50 dam.

c) Chu vi đường tròn lớn bằng 24π cm.

d) Diện tích hình tròn lớn (đi qua tâm của hình cầu) bằng 441π m².

Bài 2. Cho hình tròn (O; R) có diện tích bằng 4π. Quay hình tròn quanh một đường kính của nó ta được hình cầu tâm O bán kính R.

a) Tính bán kính của hình cầu.

b) Tính diện tích mặt cầu.

c) Tính thể tích hình cầu.

d) Nếu diện tích hình tròn giảm một nửa thì diện tích của mặt cầu thay đổi như thế nào?

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD) có chu vi và diện tích lần lượt là 6 dm và 2 dm². Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB, ta được một hình trụ. Hình trụ này có thể chứa vừa khít một hình cầu bán kính R.

a) Tính thể tích hình trụ.

b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

c) Tính bán kính R của hình cầu.

d) Tính phần thể tích giữa hình trụ và hình cầu.

Bài 4. Một chiếc hộp hình trụ chứa vừa khít 4 quả bóng tennis. Biết diện tích toàn phần của chiếc hộp là 597 cm².

a) Tính đường kính của mỗi quả bóng tennis.

b) Tính diện tích bề mặt và thể tích của mỗi quả bóng tennis.

c) Tính thể tích hộp đựng bóng tennis (bỏ qua bề dày của vỏ hộp và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm³).

d) Tính thể tích bên trong hộp đựng bóng tennis không bị chiếm bởi bốn quả bóng tennis.

Bài 5. Một hình nón có đỉnh là tâm một hình cầu và có đáy là hình tròn tạo bởi một mặt phẳng cắt hình cầu. Biết diện tích đáy hình nón là 144π cm² và diện tích xung quanh của nó là 180π cm². Tính:

a) Bán kính đáy của hình nón.

b) Bán kính của hình cầu.

c) Thể tích của hình cầu.

d) Thể tích phần không gian bên trong hình cầu và bên ngoài hình nón.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 9 quan trọng hay khác:

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật và hình vuông

• Tổng số đo hai góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp

• Công thức tìm góc quay của phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

• Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

• Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

---