Công thức nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn | Toán lớp 9
Công thức nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn Toán 9 sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 9.
Công thức nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
1. Công thức
a) Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
⦁ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là ;
⦁ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = –1, còn nghiệm kia là .
b) Dựa vào định lí Viet (xét trong trường hợp phương trình có nghiệm):
⦁ Nếu phương trình có dạng x2 + (u + v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 = –u, x2 = –v.
⦁ Nếu phương trình có dạng x2 – (u + v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 = u, x2 = v.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Bằng cách nhẩm nghiệm, hãy giải các phương trình sau:
a) 15x2 – 17x + 2 = 0;
b) 23x2 – 9x – 32 = 0.
Hướng dẫn giải
a) 15x2 – 17x + 2 = 0
Phương trình có các hệ số a = 15, b = –17, c = 2.
Ta có: a + b + c = 15 + (–17) + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm:
.
b) 23x2 – 9x – 32 = 0
Phương trình có các hệ số a = 23, b = –9, c = –32.
Ta có: a – b + c = 23 – (–9) – 32 = 0 nên phương trình có hai nghiệm:
.
Ví dụ 2. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) x2 – 5x + 6 = 0;
b) x2 + 7x + 10 = 0;
Hướng dẫn giải:
a) x2 – 5x + 6 = 0
Xét ∆ = (–5)2 – 4.1.6 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
(Nhẩm: Tổng hai nghiệm bằng 5 và tích hai nghiệm bằng 6.)
Ta có hai số đó là 2 và 3 vì 2 + 3 = 5 và 2.3 = 6.
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2; x = 3.
b) x2 + 7x + 10 = 0
Xét ∆ = 72 – 4.1.10 = 9 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.
(Nhẩm: Tổng hai nghiệm bằng –7 và tích hai nghiệm bằng 10.)
Ta có hai số đó là –2 và –5 vì (–2) + (–5) = –7 và (–2).(–5) = 10.
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = –2; x = –5.
Ví dụ 3. Cho phương trình: x2 – 6x + m2 – 4m = 0 (với m là tham số).
a) Tìm m để phương trình trên có một nghiệm bằng 1.
b) Với giá trị m vừa tìm được ở câu a, hãy tìm nghiệm còn lại.
Hướng dẫn giải:
a) Để phương trình x2 – 6x + m2 – 4m = 0 (1) có một nghiệm bằng 1 thì:
1 + (–6) + m2 – 4m = 0
m2 – 4m – 5 = 0. (2)
Phương trình bậc hai ẩn m ở trên có các hệ số am = 1, bm = –4, cm = –5.
Ta có a – b + c = 1 – (–4) + (–5) = 0.
Do đó phương trình (2) có hai nghiệm m1 = –1; m2 = 5.
Vậy với m ∈ {–1; 5} thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1.
b) ⦁ Với m = –1, ta có phương trình:
x2 – 6x + (–1)2 – 4.(–1) = 0 hay x2 – 6x + 5 = 0.
⦁ Với m = 5, ta có phương trình:
x2 – 6x + 52 – 4.5 = 0 hay x2 – 6x + 5 = 0.
Khi đó, với cả hai giá trị của m vừa tìm được, ta đều có phương trình:
x2 – 6x + 5 = 0.
Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –6, c = 5.
Ta có a + b + c = 1 + (–6) + 5 = 0.
Do đó phương trình trên có nghiệm x1 = 1; x2 = 5.
Vậy với m ∈ {–1; 5} thì nghiệm còn lại của phương trình là x = 5.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c rồi nhẩm nghiệm các phương trình:
a) – 2x2 + 7x + 9 = 0;
b) 31,1x2 – 50,9x + 19,8 = 0;
c) .
d) .
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng cách nhẩm nghiệm của đa thức đó:
a) 4x2 – 5x + 1;
b) 21x2 – 5x – 26;
c) ;
d) .
Bài 3. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) x2 – 7x + 12 = 0;
b) x2 + x – 12 = 0;
c) x2 – 4x – 12 = 0;
d) x2 + 4x – 12 = 0.
Bài 4. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau biết chúng đều có nghiệm:
a) x2 – (m + 4)x + 3m + 3 = 0;
b) x2 – (2m + 1)x + m2 + m = 0;
c) x2 – 2mx + m2 – 1 = 0.
Bài 5. Cho phương trình mx2 – 3(m + 1)x + m2 – 3m – 5 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x và có một nghiệm là –1. Tìm nghiệm còn lại.
Xem thêm các Công thức Toán lớp 9 quan trọng hay khác:
Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn
Công thức viết phương trình bậc hai một ẩn khi biết tổng và tích hai nghiệm của chúng
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12