Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức

Phương pháp giải

+ Với hai số thực a, b bất kì ta luôn có: Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

+ Với hai số dương a,b bất kì ta có: a < b ⇔ √a < √b .

+ A2 ≥ 0 với mọi biểu thức A.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: So sánh:

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 3 < 4, suy ra √3 < √4 = 2

Vậy √3 + 1 < 2 + 1 hay √3 + 1 < 3.

b) Ta có: 8 < 9, suy ra √8 < √9 = 3

suy ra 3√8 < 3.3 = 9

suy ra -3√8 > -9

Vậy -3√8 > -9

c) Ta có: 17 > 16, suy ra √17 > √16 = 4

5 > 4, suy ra √5 > √4 = 2

Vậy √17 + √5 + 1 > 4 + 2 + 1 = 7

Mà √45 < √49 = 7

Do đó : √17 + √5 + 1 > √45

d) Ta có : √1 < √36 nên 1 > 1/√36

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Do đó :

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a) x + √x + 1 với x ≥ 0.

b) x - 2√(x-1) với x ≥ 1.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có với mọi x ≥ 0 thì √x ≥ 0

⇒ x + √x + 1 ≥ 0 + 0 + 1 = 1.

Dấu "=" khi x = 0.

Vậy Min (x + √x + 1) = 1 đạt được khi x = 0.

b)

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Dấu "=" khi Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2.

Vậy Min (x - 2√(x-1)) = 0 đạt được khi x = 2.

Ví dụ 3: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

= 4

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Với hai số thực a < b, khẳng định nào dưới đây là đúng ?

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Đáp án: B

Bài 2: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết là :

A. 3    B. 4

C. 2    D. 5.

Đáp án: B

Bài 3: Giá trị lớn nhất của biểu thức Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết là :

A. 3    B. 2

C. 2√2    D. 3√2

Đáp án: C

Bài 4: So sánh nào dưới đây là đúng ?

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Đáp án: B

Bài 5: Với mọi số nguyên dương n, so sánh :

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

với 2 ta được :

A. A > 2    B. A < 2

C. A = 2    D. không so sánh được

Đáp án: B

Bài 6: So sánh Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết và 6.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Do đó:Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ : ∀ x ∈ R.

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Ta có: (x-4)2 + 2 ≥ 2

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Dấu “=” khi x - 4 = 0 ⇔ x = 4.

Vậy Min A = √2 - 12 xảy ra khi x = 4.

b) Đkxđ: ∀x, y ∈ R.

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Ta có: Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

(y-2)2 ≥ 0

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết ≥ 2 + 0 + 2010 = 2012

Dấu “=” khi Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy Min B = 2012 đạt được khi x = 1; y = 2.

Bài 8: Chứng minh biểu thức :

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

với x ≠ ±8; x ≠ 0 không phụ thuộc vào giá trị của x.

Hướng dẫn giải:

Đặt Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết , biểu thức trở thành:

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

= 2 - y + y = 2.

Vậy giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài 9: Chứng minh rằng, nếu : Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết thì : Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Đặt ax3 = by3 = cz3 = t

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Ta có: Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Mặt khác: Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Bài 10: Cho biểu thức Sn = (2-√3)n + (2+√3)n (với n nguyên dương).

a) Chứng minh S3n + 3Sn = Sn3.

b) Tính S3, S9 .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: Sn3 - 3Sn

= [(2-√3) + (2+√3)n]3 - 3. [(2-√3) + (2+√3)n]

= (2-√3)3n + (2+√3)3n + 3.(2-√3)n (2+√3)n. [(2-√3) + (2+√3)n] - 3.[(2-√3) + (2+√3)n]

= (2-√3)3n + (2+√3)3n + 3.[(2-√3)n +(2+√3)n]- 3.[(2-√3)n + (2+√3)n]

(Vì (2-√3)n (2+√3)n = [(2-√3) (2 +√3)]n = 1 ).

= (2-√3)3n + (2+√3)3n = S3n (đpcm).

2. Ta có: S1 = (2-√3)1 + (2+√3)1 = 4

S3 = S13 - 3S1 = 43 - 3.4 = 52

S9 = S33 - 3S3 = 523 - 3.52 = 140452

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

300 BÀI GIẢNG GIÚP CON LUYỆN THI LỚP 10 CHỈ 399K

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa lớp 8 ôn hè. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.