Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức

Cách giải Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức lớp 9 với phương pháp giải chi tiết và bài tập đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức.

Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức

Phương pháp giải

+ Với hai số thực a, b bất kì ta luôn có:

+ Với hai số dương a,b bất kì ta có: a < b ⇔ √a < √b .

+ A² ≥ 0 với mọi biểu thức A.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: So sánh:

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 3 < 4, suy ra √3 < √4 = 2

Vậy √3 + 1 < 2 + 1 hay √3 + 1 < 3.

b) Ta có: 8 < 9, suy ra √8 < √9 = 3

suy ra 3√8 < 3.3 = 9

suy ra -3√8 > -9

Vậy -3√8 > -9

c) Ta có: 17 > 16, suy ra √17 > √16 = 4

5 > 4, suy ra √5 > √4 = 2

Vậy √17 + √5 + 1 > 4 + 2 + 1 = 7

Mà √45 < √49 = 7

Do đó : √17 + √5 + 1 > √45

d) Ta có : √1 < √36 nên 1 > 1/√36

Do đó :

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a) x + √x + 1 với x ≥ 0.

b) x - 2√(x-1) với x ≥ 1.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có với mọi x ≥ 0 thì √x ≥ 0

⇒ x + √x + 1 ≥ 0 + 0 + 1 = 1.

Dấu "=" khi x = 0.

Vậy Min (x + √x + 1) = 1 đạt được khi x = 0.

b)

Dấu "=" khi ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2.

Vậy Min (x - 2√(x-1)) = 0 đạt được khi x = 2.

Ví dụ 3: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

Hướng dẫn giải:

= 4

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Với hai số thực a < b, khẳng định nào dưới đây là đúng ?

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Bài 2: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là :

A. 3    B. 4

C. 2    D. 5.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Bài 3: Giá trị lớn nhất của biểu thức là :

A. 3    B. 2

C. 2√2    D. 3√2

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Bài 4: So sánh nào dưới đây là đúng ?

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Bài 5: Với mọi số nguyên dương n, so sánh :

với 2 ta được :

A. A > 2    B. A < 2

C. A = 2    D. không so sánh được

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Bài 6: So sánh và 6.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Do đó:

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ : ∀ x ∈ R.

Ta có: (x-4)² + 2 ≥ 2

Dấu “=” khi x - 4 = 0 ⇔ x = 4.

Vậy Min A = √2 - 12 xảy ra khi x = 4.

b) Đkxđ: ∀x, y ∈ R.

Ta có:

(y-2)² ≥ 0

⇒ ≥ 2 + 0 + 2010 = 2012

Dấu “=” khi

Vậy Min B = 2012 đạt được khi x = 1; y = 2.

Bài 8: Chứng minh biểu thức :

với x ≠ ±8; x ≠ 0 không phụ thuộc vào giá trị của x.

Hướng dẫn giải:

Đặt , biểu thức trở thành:

= 2 - y + y = 2.

Vậy giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Bài 9: Chứng minh rằng, nếu : thì :

Hướng dẫn giải:

Đặt ax³ = by³ = cz³ = t

Ta có:

Mặt khác:

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Bài 10: Cho biểu thức S_n = (2-√3)ⁿ + (2+√3)ⁿ (với n nguyên dương).

a) Chứng minh S_3n + 3S_n = S_n³.

b) Tính S₃, S₉ .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: S_n³ - 3S_n

= [(2-√3) + (2+√3)ⁿ]³ - 3. [(2-√3) + (2+√3)ⁿ]

= (2-√3)³ⁿ + (2+√3)³ⁿ + 3.(2-√3)ⁿ (2+√3)ⁿ. [(2-√3) + (2+√3)ⁿ] - 3.[(2-√3) + (2+√3)ⁿ]

= (2-√3)³ⁿ + (2+√3)³ⁿ + 3.[(2-√3)ⁿ +(2+√3)ⁿ]- 3.[(2-√3)ⁿ + (2+√3)ⁿ]

(Vì (2-√3)ⁿ (2+√3)ⁿ = [(2-√3) (2 +√3)]ⁿ = 1 ).

= (2-√3)³ⁿ + (2+√3)³ⁿ = S_3n (đpcm).

2. Ta có: S₁ = (2-√3)¹ + (2+√3)¹ = 4

S₃ = S₁³ - 3S₁ = 4³ - 3.4 = 52

S₉ = S₃³ - 3S₃ = 52³ - 3.52 = 140452

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

• Chuyên đề Đại Số 9
• Chuyên đề: Căn bậc hai
• Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
• Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
• Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn số
• Chuyên đề Hình Học 9
• Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
• Chuyên đề: Đường tròn
• Chuyên đề: Góc với đường tròn
• Chuyên đề: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---