4 cách giải phương trình vô tỉ cực hay
Cách giải phương trình vô tỉ lớp 9 với phương pháp giải chi tiết và bài tập đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập phương trình vô tỉ.
4 cách giải phương trình vô tỉ cực hay
Phương pháp giải
- Cách 1: Nâng lên cùng một lũy thừa ở cả hai vế.
+ Phương trình
+ Phương trình √A = √B ⇔ A = B.
+ Phương trình A2 = B2 ⇔ |A| = |B| ⇔ A = ±B
- Cách 2: Đặt ẩn phụ.
- Cách 3: Sử dụng biểu thức liên hợp, đánh giá.
- Một số phương trình đặc biệt có cách giải riêng biệt khác.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp bình phương để giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a) √x = 3 (đkxđ: x ≥ 0)
⇔ x = 32 = 9 (t/m)
Vậy phương trình có nghiệm x = 9.
b) (đkxđ: x ≥ -1)
⇔ x + 1 = 4
⇔ x = 3 (t/m)
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
c) (đkxđ: x ≥ -3/2 )
⇒ 2x + 3 = x2
⇔ x2 – 2x – 3 = 0
⇔ (x + 1)(x – 3) = 0
⇔ x = -1 hoặc x = 3
Thử lại chỉ có giá trị x = 3 thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
d) (đkxđ: x ≥ 1).
⇒ x - 1 = (x-3)2
⇔ x – 1 = x2 – 6x + 9
⇔ x2 – 7x + 10 = 0
⇔ (x – 2)(x – 5) = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 5
Thử lại chỉ có giá trị x = 5 thỏa mãn.
Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
⇒ x2 + 5x + 3 = t2
⇒ 2x2 + 10x = 2(x2 + 5x) = 2. (t2 - 3) = 2t2 - 6
Khi đó phương trình trở thành:
t + 2t2 - 6 - 15 = 0 ⇔ 2t2 + t – 21 = 0
⇔ (t-3) (2t + 7/2) = 0 ⇔ t = 3 (T/M) hoặc t = -7/2(L).
Với t = 3 thì
⇔ x2 + 5x + 3 = 9
⇔ x2 + 5x - 6 = 0
⇔ (x-1) (x+6) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -6
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1 và x = -6.
b) Đặt ⇒ x = t3.
Khi đó phương trình trở thành: t3 + t – 2 = 0 ⇔ (t – 1)(t2 + t + 2) = 0 ⇔ t = 1 (Vì t2 + t + 2 > 0 với mọi t).
Với t = 1 ⇒ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
c) (Đkxđ: x ≠ 0 và x - 1/x ≥ 0 ).
Chia cả hai vế cho x ta được:
Phương trình trở thành: t2 + 2t - 3 = 0
⇔ (t-1)(t+3) = 0 ⇔ t = 1(t/m) hoặc t = -3(l)
Với t = 1 ⇒
⇔ x2 – 1 = x
⇔ x2 – x – 1 = 0
⇔ (x-1/2)2 = 5/4
Vậy phương trình có hai nghiệm
d) Đặt
Ta thu được hệ phương trình :
⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau đây:
Hướng dẫn giải:
a) Phương pháp giải: Phân tích thành nhân tử
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
b)
Điều kiện xác định : ⇔ x = 7.
Thay x = 7 vào thấy không thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Phương pháp giải: Đánh giá
VT = VP ⇔
Vậy phương trình vô nghiệm.
+ TH1: Xét ⇔ x-1 ≥ 9 ⇔ x ≥ 10 .
Phương trình trở thành:
⇔ x – 1 = 81/4 ⇔ x = 85/4 (t.m)
+ TH2: Xét (không tồn tại)
+ TH3: Xét ⇔ 5 ≤ x ≤ 10 .
Phương trình trở thành:
⇔ 1 = 4 (vô nghiệm)
+ TH4: Xét ⇔ x ≤ 5.
Phương trình trở thành:
⇔ x - 1 = 1/4 ⇔ x = 5/4 (thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5/4 và x = 85/4
Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Bài 1: Nghiệm của phương trình là :
A. x = 6 B. x = 3 C. x = 9 D. Vô nghiệm.
Đáp án: A
Bài 2: Phương trình có số nghiệm là:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3.
Đáp án: C
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)⇔ (x + 1)(x + 3) = 8
⇔ x2 + 4x + 3 = 8
⇔ x2 + 4x – 5 = 0
⇔ x2 + 5x – x – 5 = 0
⇔ (x + 5)(x – 1) = 0
⇔ x = -5 hoặc x = 1 (t/m)
Vậy phương trình có hai nghiệm
Bài 3: Tổng các nghiệm của phương trình x - 5√x + 6 = 0 là:
A. 5 B. 9 C. 4 D. 13.
Đáp án: D
Đkxđ: x ≥ 0.
x - 5√x + 6 = 0
⇔ x - 3√x - 2√x + 6 = 0
⇔ (√x - 3) (√x - 2) = 0
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 13.
Bài 4: Phương trình có nghiệm là:
A. x = 4 B. x = -3 C. x = -3 và x = 4 D. Vô nghiệm.
Đáp án: A
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)
⇒ 25 – x2 = (x – 1)2
⇔ 25 – x2 = x2 – 2x + 1
⇔ 2x2 – 2x – 24 = 0
⇔ x2 – x – 12 = 0
⇔ x2 – 4x + 3x – 12 = 0
⇔ (x – 4)(x + 3) = 0
⇔ x = 4 hoặc x = -3.
Thử lại chỉ có x = 4 là nghiệm của phương trình.
Bài 5: Phương trình có số nghiệm là:
A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số.
Đáp án: D
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)⇔ |x-3| = x-3 ⇔ x ≥ 3
Vậy phương trình có nghiệm đúng với mọi x ≥ 3 hay phương trình có vô số nghiệm.
Bài 6: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a) (đkxđ: x ≥ -3/2 )
⇔
⇔ 2x + 3 = 1/4
⇔ 2x = -11/4
⇔ x = -11/8
Vậy phương trình có nghiệm x = -11/8 .
b) (đkxđ: x ≥ 0)
⇔ 3x = 144
⇔ x = 48
c) (đkxđ: x ≥ -1)
⇔ x + 1 = 25
⇔ x = 24.
Vậy phương trình có nghiệm x = 24.
Bài 7: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a)
⇔ x2 + x + 1 = 2x2 – 5x + 9
⇔ x2 – 6x + 8 = 0
⇔ x2 – 2x – 4x + 8 = 0
⇔ (x – 2)(x – 4) = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 4.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 4.
b)
⇒ 3x2 + 4x + 1 = (x – 1)2
⇔ 3x2 + 4x + 1 = x2 – 2x + 1
⇔ 2x2 – 6x = 0
⇔ 2x(x – 3) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 3.
Thử lại chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
⇔ x2 + 5x - 2 = 4
⇔ x2 + 5x - 6 = 0
⇔ (x + 6)(x – 1) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -6
Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 hoặc x = 1.
⇒ 4(x+1)(2x+3) = (21-3x)2
⇔ 4(2x2 + 2x + 3x + 3) = 441 – 126x + 9x2
⇔ 8x2 + 20x + 12 = 441 – 126x + 9x2
⇔ x2 – 146x + 429 = 0.
⇔ x2 – 3x – 143x + 429 = 0
⇔ (x – 3)(x – 143) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 143.
Thử lại cả hai đều thỏa mãn phương trình
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 143.
Bài 8: Giải các phương trình:
Hướng dẫn giải:
a)
Đặt
+ Th1: ⇔ x = 1.
+ Th2: ⇔ x = -7.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -7.
b) (đkxđ: x ≥ -1)
Đặt
⇒ a2 - b2 = (2x+3) - (x+1) = x + 2
⇒ a – b = a2 – b2
⇔ (a – b)(a + b) – (a – b) = 0
⇔ (a – b)(a + b – 1) = 0
⇔ a = b hoặ a + b = 1
+ Th1: a = b ⇒
⇔ 2x + 3 = x + 1 ⇔ x = -2 < -1 (Loại)
+ Th2: a + b – 1 = 0.
Mà a ≥ 1; b ≥ 0 nên a + b ≥ 1 hay a + b – 1 ≥ 0.
Phương trình chỉ xảy ra ⇔ ⇔ x = -1 .
Vậy phương trình có nghiệm x = -1.
c) (đkxđ: x2 – 2x – 3 ≥ 0)
Phương trình trở thành: t2 + 3t - 4 = 0
⇔ t2 + 4t – t – 4 = 0
⇔ (t + 4)(t – 1) = 0
⇔ t = -4 (L) hoặc t = 1 (T/M)
⇔
⇔ x2 – 2x – 3 = 1
⇔ x2 – 2x – 4 = 0
⇔ (x – 1)2 = 5
Bài 9: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
(1)Ta có:
⇒ VT (1) = ≥ 2 + 3 = 5.
VP (1) = 4 – 2x – x2 = 5 – (1 + 2x + x2) = 5 – (x + 1)2 ≤ 5.
VT = VP ⇔ ⇔ x = -1.
Thử lại x = -1 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = -1.
Bài 10: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải:
(Đkxđ: x ≥ -1 )
+ TH1:
Khi đó phương trình trở thành:
⇔ x = 3 (t.m)
+ TH2: ⇔ x < 3.
Khi đó phương trình trở thành:
⇔ 4 = 4 (đúng với mọi x)
Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn -1 ≤ x ≤ 3.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải các phương trình
a) ;
b) ;
c) .
Bài 2. Giải các phương trình
a) ;
b) ;
c) .
Bài 3. Giải các phương trình
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Bài 4. Tổng các nghiệm của hai phương trình là = và = .
Bài 5. Giải phương trình
a) ;
b) ;
c) .
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
- Bài toán so sánh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức
- Căn bậc hai - Căn bậc ba
- Bài tập trắc nghiệm Căn bậc hai số học của một số
- Tìm điều kiện để biểu thức căn có nghĩa
- Bài tập trắc nghiệm Tìm điều kiện xác định
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
- Chuyên đề Đại Số 9
- Chuyên đề: Căn bậc hai
- Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
- Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn số
- Chuyên đề Hình Học 9
- Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Chuyên đề: Đường tròn
- Chuyên đề: Góc với đường tròn
- Chuyên đề: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu
Tủ sách VIETJACK shopee luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn Văn 9
- Soạn Văn 9 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 9
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Toán 9
- Giải sách bài tập Toán 9
- Đề kiểm tra Toán 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề Toán 9
- Giải bài tập Vật lý 9
- Giải sách bài tập Vật Lí 9
- Giải bài tập Hóa học 9
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Hóa học 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Sinh học 9
- Giải Vở bài tập Sinh học 9
- Chuyên đề Sinh học 9
- Giải bài tập Địa Lí 9
- Giải bài tập Địa Lí 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9 thí điểm
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9 mới
- Giải bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập Lịch sử 9 (ngắn nhất)
- Giải tập bản đồ Lịch sử 9
- Giải Vở bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập GDCD 9
- Giải bài tập GDCD 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 9
- Giải bài tập Tin học 9
- Giải bài tập Công nghệ 9