Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đkxđ.

Bước 2: Đặt một (hoặc nhiều) biểu thức thích hợp làm ẩn mới, (thường là các biểu thức chứa căn thức) tìm điều kiện của ẩn mới.

Bước 3: Biến đổi phương trình theo ẩn mới (Có thể biến đổi hoàn toàn thành ẩn mới hoặc để cả 2 ẩn cũ và mới) rồi giải phương trình theo ẩn mới.

Bước 4: Thay trả lại ẩn cũ và tìm nghiệm, đối chiếu đkxđ và kết luận.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: ∀ x ∈ R.

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Phương trình trở thành:

t2 + t – 42 = 0 ⇔ (t – 6)(t + 7) = 0 Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Với t = 6 ⇒ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇔ 2x2 + 3x + 9 = 36

⇔ 2x2 + 3x - 27 = 0

⇔ (x-3) (2x+9) = 0 .

⇔ x = 3 hoặc x = -9/2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = -9/2.

Ví dụ 2: Giải phương trình Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 4x2 + 5x + 1 ≥ 0

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Phương trình trở thành : a - b = a2 - b2

⇔ (a-b)(a+b-1) = 0 ⇔ a - b = 0 hoặc a + b - 1 = 0.

TH1 : a – b = 0 ⇔ 9x – 3 = 0 ⇔ x = 1/3 (t.m đkxđ).

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇒ Phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/3 .

Ví dụ 3: Giải phương trình: Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: ∀ x ∈ R.

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Phương trình trở thành: t2 - (x+3)t + 3x = 0

⇔ (t-3)(t-x) = 0 ⇔ t = 3 hoặc t = x .

+ t = 3 ⇒ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ±2√2 .

+ t = x ⇒ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết ⇒ x2 + 1 = x2. Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm .

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Cho phương trình: Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết Nếu đặt Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết thì t phải lưu ý điều kiện nào?

A. t ∈ R    B. t ≤ 1

C. t ≥ 1    D. t ≥ -1 .

Đáp án: D

Bài 2: Số nghiệm của phương trình Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết là:

A. 0    B. 2    C. 4    D. 6

Đáp án: B

Bài 3: Tập nghiệm của phương trình Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết có bao nhiêu phần tử?

A. 0    B. 2    C. 4    D. 6

Đáp án: B

Bài 4: Cho phương trình Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Phương trình có nghiệm âm duy nhất.

B. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

C. Phương trình có 2 nghiệm âm.

D. Phương trình có hai nghiệm dương.

Đáp án: D

Bài 5: Phương trình Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết có tổng các nghiệm bằng:

A. 3/2    B. 1    C. 2/3    D. -3/2 .

Đáp án: C

Bài 6: Giải phương trình Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Phương trình trở thành: t + t3 - 30 = 0 ⇔ (t-3)(t2 + 3t + 10) = 0 ⇔ t = 3

Thay trả lại biến x ta được: Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇔ x2 - 4x + 31 = 27

⇔ x2 - 4x + 4 = 0

⇔ (x-2)2 = 0

⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 7: Giải phương trình :

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Phương trình trở thành t + 1/t = 2 ⇔ t2 - 2t + 1 = 0 ⇔ (t – 1)2 = 0 ⇔ t = 1.

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

b) Đkxđ: x - 1/x ≥ 0 ; x ≠ 0 .

Chia cả hai vế của phương trình cho x ta được:

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Pt trở thành: t2 + 2t - 3 = 0 ⇔ (t + 3)(t – 1) = 0 ⇔ t = -3(L) hoặc t = 1 (t/m) .

+ t = 1 Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy phương trình có hai nghiệm Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

c) Đkxđ: x ≥ -1 .

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Phương trình trở thành : 2a2 - 5ab + 2b2 = 0

⇔ (2a-b) (a-2b) = 0

⇔ a = b/2 hoặc a = 2b

+ a = b/2 ⇔ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇔ x2 - x + 1 = 4(x+1) ⇔ x2 - 5x - 3 = 0 ⇔ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

+ a = 2b ⇔ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇔ x+1 = 4(x2 - x + 1)⇔ 4x2 -5x + 3 = 0

Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết .

Bài 8: Giải phương trình:

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

a) Đkxđ: x2 ≤ 15.

Đặt Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇒ a2 - b2 = (25 - x2) - (15 - x2) = 10

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Thay trả lại biến x ta được: Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy phương trình có hai nghiệm Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

b) Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Đkxđ: x ≥ 1.

Đặt Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇒ u3 + v2 = 2 - x + x - 1 = 1(*)

Mà theo đề bài ta có u + v = 1 ⇒ v = 1 – u

Thay v = 1 – u vào (*) ta được: u3 + (1 – u)2 = 1

⇔ u3 + u2 – 2u + 1 = 1

⇔ u3 + u2 – 2u = 0

⇔ u(u2 + u – 2) = 0

⇔ u(u – 1)(u + 2) = 0

⇔ u = 0 hoặc u = 1 hoặc u = -2.

+ u = 0 ⇒ x = 2 (t.m)

+ u = 1 ⇒ x = 1 (t.m)

+ u = -2 ⇒ x = 10 (t.m)

Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1; x = 2 và x = 10.

c) Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Đkxđ: ∀x ∈ R.

Đặt Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇒ a3 - b3 = 2

⇒ (a – b)(a2 + b2 + ab) = 2 (*)

Phương trình trở thành: a2 + b2 + ab = 1 (**)

Thay vào (*) ta được: (a – b).1 = 2 ⇒ a – b = 2 ⇒ a = 2 + b

Thay a = 2 + b vào (**) ta được:

⇔ 3b2 + 6b + 3 = 0

⇔ 3(b + 1)2 = 0

⇔ b = -1

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết ⇔ x = 0.

Thử lại x = 0 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

Bài 9: Giải phương trình: Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: x ≥ 1 .

Đặt Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Khi đó Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Phương trình trở thành:

a + b = 1 + ab ⇔ ab + 1 – a – b = 0 ⇔ (a – 1)(b – 1) = 0 ⇔ a = 1 hoặc b = 1

+ a = 1 ⇔ √(x-1) = 1 ⇔ x = 2.

+ b = 1 ⇔ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇔ x3 + x2 + x = 0

⇔ x(x2 + x + 1) = 0

⇔ x = 0 (không t.m đkxđ).

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Bài 10: Giải phương trình: Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Đkxđ: -18/5 ≤ x > 64/5 .

Đặt Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇒ a4 + b4 = 18 - 5x + 64 + 5x = 82(*)

Phương trình trở thành: a + b = 4 (**)

⇒ a2 + b2 = (a+b)2 - 2ab = 16 - 2ab

⇒ a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2 = (16-2ab)2 - 2a2b2= 2a2b2 - 64ab + 256

Hay 2a2b2 - 64ab + 256 = 82

⇔ a2b2 - 64ab + 256 = 82

⇔ 2a2b2 - 32ab + 87 = 0

⇔ (ab – 3)(ab – 29) = 0

⇔ ab = 3 hoặc ab = 29.

+ ab = 3.

Từ (**) ⇒ a = 4 – b.

Thay vào ab = 3 ⇒ (4 – b)b = 3 ⇔ b2 – 4b + 3 = 0 ⇔ (b – 1)(b – 3) = 0 ⇔ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Nếu a = 3; b = 1 ⇒ ⇒ x = Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Nếu a = 1; b = 3 ⇒ ⇒ x = Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Thử lại cả hai đều là nghiệm của phương trình.

+ Nếu ab = 29

Từ (**)⇒ a = 4 – b.

Thay vào ab = 29 ⇒ (4 – b)b= 29 ⇔ b2 – 4b + 29 = 0.

Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 63/5 và x = -17/5

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

300 BÀI GIẢNG GIÚP CON LUYỆN THI LỚP 10 CHỈ 399K

Hơn 5000 bạn đã học và tiến bộ tại VietJack chỉ với 2k/ 1 ngày. Đăng ký ngay!

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.