Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải

+ Hàm số y = f(x) đồng biến nếu với mọi x1; x2 thuộc tập xác định thỏa mãn x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến nếu với mọi x1; x2 thuộc tập xác định thỏa mãn x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)

+ Ngoài dựa vào định nghĩa, ta có thể dựa vào việc xét dấu biểu thức A = (f(x1)- f(x2))(x1 - x2) hoặc Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9 .

Nếu A > 0 (hoặc B > 0 ) thì hàm số đồng biến.

Nếu A < 0 (hoặc B < 0) thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = f(x) = 3x-7 .

b) y = g(x) = -2x+5 .

c) y = h(x) = √(x+2)

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x1 ≠ x2 ∈ R, ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9Vậy hàm số đồng biến trên toàn tập số thực.

b) Lấy x1 ≠ x2 ∈ R, ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9Vậy hàm số y = g(x) nghịch biến trên toàn tập số thực.

c) Đkxđ : x ≥ -2.

Lấy x1 ≠ x2 thỏa mãn x1; x2 ≥ -2 ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định x ≥ -2.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng :

a) f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến khi x > -1 và nghịch biến khi x < -1.

b) g(x) = -x2 + 4x + 1 đồng biến khi x < 2 và nghich biến khi x > 2.

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x1 ; x2 ∈ R ta có :

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

+ Với mọi x1 < -1 ; x2 < -1 thì x1 + x2 + 2 < 0

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x1 > -1 ; x2 > -1 thì x1 + x2 + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

b) Lấy x1 ; x2 ∈ R, xét :

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

+ Với mọi x1 < 2 ; x2 < 2thì x1 + x2 < 4.

Do đó Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x1 > -1 ; x2 > -1 thì x1 + x2 + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9 nghịch biến trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≤ 1.

Ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Lấy x1; x2 < 1 ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Với x1; x2 thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên tập D khi :

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Đáp án: D

Bài 2: Với x1; x2 thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên tập D khi :

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Đáp án: C

Bài 3: Cho hàm số y = 1 – x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có tập xác định x < 1.

B. Hàm số có tập xác định x > 1.

C. Hàm số đồng biến trên tập xác định

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Đáp án: D

Bài 4: Cho hàm số y = x2 - 6x . Hàm số đồng biến khi :

A. 0 < x < 5 B. x < 3 C. x > 3 D. -2 <x < 2.

Đáp án: C

Bài 5: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên toàn tập số thực:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Đáp án: A

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Chứng minh rằng hàm số Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9 đồng biến trên tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Lấy x1; x2 ∈ R bất kì, ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Vậy hàm số đồng biến trên tập số thực.

Bài 7: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9 với x < 1.

Hướng dẫn giải:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Đkxđ: x ≤ 3/2 .

Lấy x1; x2 < 1 bất kì ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Vậy hàm số nghịch biến với mọi x < 1.

Bài 8: Cho hàm số y = x2 - x + 1.

Chứng minh hàm số đồng biến khi x > 1/2 và nghịch biến khi x < 1/2.

Hướng dẫn giải:

f(x) = x2 - x + 1

+ Lấy x1; x2 < 1/2 bất kì ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Với x1; x2 < 1/2 thì x1 + x2 < 1 nên x1 + x2 - 1 < 0 .

Hay Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9 hay hàm số nghịch biến với x < 1/2 .

+ Lấy x1; x2 > 1/2 bất kì ta có x1 + x2 > 1 , suy ra x1 + x2 - 1 > 0

Suy ra Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Hay Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9 hay hàm số đồng biến với x > 1/2 .

Bài 9: Chứng minh hàm số Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9 đồng biến với x > 2.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: x ≠ 2 .

Lấy x1; x2 > 2. Ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Với x1;x2 > 2 ta có: 2 - x1 < 0 ; 2 - x2 < 0

Do đó Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Vậy hàm số đồng biến với x > 2.

Bài 10: Tìm điều kiện của a để hàm số y = ax + 3 nghịch biến trên toàn tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = f(x) = ax + 3.

Lấy x1 ; x2 ∈ R bất kì.

Ta có : Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9

Để hàm số nghịch biến trên R thì Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Chuyên đề Toán 9 hay a < 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên