Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải

+ Hàm số y = f(x) đồng biến nếu với mọi x1; x2 thuộc tập xác định thỏa mãn x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến nếu với mọi x1; x2 thuộc tập xác định thỏa mãn x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)

+ Ngoài dựa vào định nghĩa, ta có thể dựa vào việc xét dấu biểu thức A = (f(x1)- f(x2))(x1 - x2) hoặc Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết .

Nếu A > 0 (hoặc B > 0 ) thì hàm số đồng biến.

Nếu A < 0 (hoặc B < 0) thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = f(x) = 3x-7 .

b) y = g(x) = -2x+5 .

c) y = h(x) = √(x+2)

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x1 ≠ x2 ∈ R, ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiếtVậy hàm số đồng biến trên toàn tập số thực.

b) Lấy x1 ≠ x2 ∈ R, ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiếtVậy hàm số y = g(x) nghịch biến trên toàn tập số thực.

c) Đkxđ : x ≥ -2.

Lấy x1 ≠ x2 thỏa mãn x1; x2 ≥ -2 ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định x ≥ -2.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng :

a) f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến khi x > -1 và nghịch biến khi x < -1.

b) g(x) = -x2 + 4x + 1 đồng biến khi x < 2 và nghich biến khi x > 2.

Hướng dẫn giải:

a) Lấy x1 ; x2 ∈ R ta có :

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

+ Với mọi x1 < -1 ; x2 < -1 thì x1 + x2 + 2 < 0

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x1 > -1 ; x2 > -1 thì x1 + x2 + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

b) Lấy x1 ; x2 ∈ R, xét :

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

+ Với mọi x1 < 2 ; x2 < 2thì x1 + x2 < 4.

Do đó Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 nghịch biến với mọi x < -1.

+ Với mọi x1 > -1 ; x2 > -1 thì x1 + x2 + 2 > 0

Vậy hàm số f(x) = x2 + 2x + 4 đồng biến với mọi x > -1.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết nghịch biến trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≤ 1.

Ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Lấy x1; x2 < 1 ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên tập xác định của nó.

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Với x1; x2 thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên tập D khi :

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Đáp án: D

Bài 2: Với x1; x2 thuộc tập D bất kì, hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên tập D khi :

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Đáp án: C

Bài 3: Cho hàm số y = 1 – x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có tập xác định x < 1.

B. Hàm số có tập xác định x > 1.

C. Hàm số đồng biến trên tập xác định

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Đáp án: D

Bài 4: Cho hàm số y = x2 - 6x . Hàm số đồng biến khi :

A. 0 < x < 5 B. x < 3 C. x > 3 D. -2 <x < 2.

Đáp án: C

Bài 5: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên toàn tập số thực:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Đáp án: A

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Chứng minh rằng hàm số Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết đồng biến trên tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Lấy x1; x2 ∈ R bất kì, ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy hàm số đồng biến trên tập số thực.

Bài 7: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết với x < 1.

Hướng dẫn giải:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Đkxđ: x ≤ 3/2 .

Lấy x1; x2 < 1 bất kì ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy hàm số nghịch biến với mọi x < 1.

Bài 8: Cho hàm số y = x2 - x + 1.

Chứng minh hàm số đồng biến khi x > 1/2 và nghịch biến khi x < 1/2.

Hướng dẫn giải:

f(x) = x2 - x + 1

+ Lấy x1; x2 < 1/2 bất kì ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Với x1; x2 < 1/2 thì x1 + x2 < 1 nên x1 + x2 - 1 < 0 .

Hay Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết hay hàm số nghịch biến với x < 1/2 .

+ Lấy x1; x2 > 1/2 bất kì ta có x1 + x2 > 1 , suy ra x1 + x2 - 1 > 0

Suy ra Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hay Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết hay hàm số đồng biến với x > 1/2 .

Bài 9: Chứng minh hàm số Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết đồng biến với x > 2.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: x ≠ 2 .

Lấy x1; x2 > 2. Ta có:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Với x1;x2 > 2 ta có: 2 - x1 < 0 ; 2 - x2 < 0

Do đó Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy hàm số đồng biến với x > 2.

Bài 10: Tìm điều kiện của a để hàm số y = ax + 3 nghịch biến trên toàn tập số thực.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = f(x) = ax + 3.

Lấy x1 ; x2 ∈ R bất kì.

Ta có : Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Để hàm số nghịch biến trên R thì Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết hay a < 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

300 BÀI GIẢNG GIÚP CON LUYỆN THI LỚP 10 CHỈ 399K

Hơn 5000 bạn đã học và tiến bộ tại VietJack chỉ với 2k/ 1 ngày. Đăng ký ngay!

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.