Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm đkxđ

Bước 2: Đánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại hoặc đánh giá cả hai vế.

+ Cách 1: Đưa 1 vế về dạng A2 + B2 + C2 + ... = 0

Phương trình có nghiệm ⇔ A = B = C = ... = 0.

+ Cách 2 : Sử dụng các BĐT để đánh giá.

BĐT Cô-si áp dụng cho hai số dương : a2 + b2 ≥ 2ab

BĐT hệ quả : 2(a2 + b2) ≥ (a+b)2

BĐT Cô-si áp dụng cho ba số dương : a3 + b3 + c3 ≥ 3abc

...

Bước 3 : Xét dấu = xảy ra và đối chiếu tìm nghiệm của phương trình.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Ta có: (x-2)2 ≥ 0

⇒ (x-2)2 + 27 ≥ 27

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Dấu "=" khi (x – 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Ta có: Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Suy ra Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Suy ra pt (1) ⇔ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; y = 2; z = 3.

Ví dụ 3: Giải phương trình Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≠ 0.

Nhân cả hai vế với 3x ta được : Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết (1) .

Ta có : Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Áp dụng BĐT Cô si cho ba số Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết ta có :

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇒ VT (1) ≤ VP (1).

PT có nghiệm ⇔ 5x2 = 2x2 + 9 ⇔ 3x2 = 9 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ±√3 .

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = ±√3 .

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: BĐT nào dưới đây là đúng với mọi số thực x ?

A. x2 + 1 ≥ 2x    B. x3 + 1 ≥ 3x

C. x4 + 1 ≥ 4x    D. x5 + 1 ≥ 5x

Đáp án: A

Bài 2: Phương trình Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết có tổng các nghiệm bằng :

A. 0    B. 1

C. 2    D. 3

Đáp án: C

Bài 3: Đánh giá nào dưới đây là không đúng ?

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Đáp án: C

Bài 4: Khẳng định nào dưới đây đúng về phương trình :

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

A. Phương trình có một nghiệm âm

B. Phương trình có một nghiệm dương

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu

D. Phương trình vô nghiệm.

Đáp án: D

Bài 5: Phương trình Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết có số nghiệm là :

A. 0    B. 1

C. 2    D. 3

Đáp án: B

Bài 6: Giải phương trình Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : x ≥ -1.

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Nhận thấy : VT = Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết với mọi x.

PT có nghiệm ⇔ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết ⇔ x = 3 (t.m)

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Bài 7: Giải phương trình: Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Ta có :

VT Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Phương trình có nghiệm ⇔ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 8: Giải phương trình : Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 5 ≤ x ≤ 7 .

+ Áp dụng BĐT : (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) ta có:

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

+ x2 - 12x + 38 = (x-6)2 + 2 ≥ 2

⇒ VT ≤ VP với mọi x.

Phương trình có nghiệm ⇔ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết ⇔ x = 6.

Vậy phương trình có nghiệm x = 6.

Bài 9: Giải phương trình : Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Đkxđ : 0 ≤ x ≤ 1 .

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

+ Nếu x = 1, VT (*) = 3 ; VP (*) = 3.

⇒ x = 1 là nghiệm của phương trình.

+ Với 0 ≤ x ≤ 1 thì Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇒ Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Bài 10: Giải phương trình : Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Hướng dẫn giải:

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Gợi ý: PT có nghiệm x = 1/2 . Do đó ta thêm bớt các số để đánh giá BĐT sao cho dấu = đều xảy ra tại x = 1/2 .

Giải :

Nhận xét : VT = 4x4 + x2 + 3x + 4 > 0 với mọi x.

PT có nghiệm ⇔ Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết ⇔ x > 0.

Khi đó áp dụng BĐT Cô-si cho VT ta có :

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Áp dụng BĐT Cô-si cho vế trái ta được :

Cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

⇒ VT ≥ VP

Phương trình có nghiệm ⇔ x = 2.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

300 BÀI GIẢNG GIÚP CON LUYỆN THI LỚP 10 CHỈ 399K

Hơn 5000 bạn đã học và tiến bộ tại VietJack chỉ với 2k/ 1 ngày. Đăng ký ngay!

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.