Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay

Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay

Phương pháp giải

Chứng minh họ đường thẳng y = ax + b, (trong đó a, b là các đa thức chứa tham số m) đi qua một điểm cố định.

+ Gọi điểm cố định mà họ đường thẳng luôn đi qua là (xo; yo) với mọi m

+ Thay (xo; yo) vào phương trình đường thẳng.

+ Đưa phương trình về dạng fk(xo; yo).mk + fk-1(xo; yo).mk-1 + ... + fo(xo; yo) = 0 với mọi m

Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Giải hệ phương trình tìm được điểm cố định mà họ đường thẳng luôn đi qua.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.

Hướng dẫn giải:

Gọi điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua là A(xo ; yo) .

Khi đó yo = (2m – 1)xo + m – 3 với ∀ m.

⇔ (2m – 1)xo + m – 3 – yo = o với ∀ m

⇔ m(2xo + 1) – (xo + 3 + yo) = 0 với ∀ m

Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy điểm cố định đồ thị hàm số đi qua với mọi m là (-1/2;5/2) .

Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Ví dụ 2: Chứng minh rằng họ đường thẳng y = (m2 – m – 1)x – 2m2 + 2m – 3 luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn giải:

Giả sử họ đường thẳng y = (m2 – m – 1)x – 2m2 + 2m – 3 luôn đi qua A(xo; yo) cố định.

Khi đó: yo = (m2 – m – 1)xo – 2m2 + 2m – 3 với ∀ m

⇔ (m2 – m – 1)xo – 2m2 + 2m – 3 – yo = 0 với ∀ m

⇔ m2(xo – 2) – m(xo – 2) – xo – 3 – yo = 0 với ∀ m

Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy họ đường thẳng trên luôn đi qua điểm cố định (2; -5).

Ví dụ 3: Tìm giá trị của k để ba đường thẳng y = kx – 2; y = 4x + 3; y = (k – 1)x + 4 đồng quy tại một điểm.

Hướng dẫn giải:

Gọi 3 đường thẳng trên lần lượt là d1; d2; d3.

Giao điểm của d1 và d3 là nghiệm của phương trình:

kx – 2 = (k – 1)x + 4 ⇔ kx – 2 = kx – x + 4 ⇔ x = 6.

⇒ y = 6k – 2.

Vậy giao điểm của d1 và d3 là A(6; 6k – 2).

Để d1; d2; d3 đồng quy thì A(6; 6k – 2) ∈ d2

⇔ 6k – 2 = 4.6 + 3 ⇔ 6k = 29 ⇔ k = 29/6 .

Vậy k = 29/6 .

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Đồ thị hàm số nào dưới đây đồng quy với đồ thị hai hàm số y = x + 2; y = -1/2x - 5/2 ?

Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Đáp án : A

Bài 2: Đồ thị hàm số y = mx + 1 luôn đi qua điểm nào dưới đây?

A. (0; 1)    B. (1; 0).

C. (-1; 0)    D. (1; 2).

Đáp án : A

Bài 3: Khẳng định nào đúng về ba đường thẳng y = -x + 2 ; y = 2x – 1 và y = -2x + 3 ?

A. Song song với nhau

B. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng còn lại.

C. Đồng quy.

D. Đôi một cắt nhau tạo thành một tam giác.

Đáp án : C

Bài 4: Đồ thị hàm số y = (m2 – 2)x + m2 – 1 luôn đi qua điểm nào dưới đây với mọi m?

A. (0; -1)    B. (-1; 1)

C. (-1; 3)    D. (1; 0).

Đáp án : B

Bài 5: Đồ thị hàm số nào dưới đây có điểm cố định và điểm cố định đó nằm trên trục tung?

A. y = (m2 + m)x + m + 2    B. y = (m – 1)x + 2

C. y = (m + 2)x + m + 1    D. y = m2x + m.

Đáp án : B

Bài tập tự luận tự luyện

Bài 6: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = (m – 2)x + 3m – 1 luôn đi qua.

Hướng dẫn giải:

Gọi A(xo; yo) là điểm cố định mà đường thẳng y = (m – 2)x + 3m – 1 đi qua

Khi đó: yo = (m – 2)xo + 3m – 1 với ∀m

⇔ m(xo + 3) – 2xo – 1 – yo = 0 với ∀m

Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy đồ thị hàm số y = (m – 2)x + 3m – 2 luôn đi qua (-3; 5).

Bài 7: Đường thẳng y = (m – 2n + 1)x – 2m + 4n – 3 có đi qua một điểm cố định nào với mọi m, n hay không?

Hướng dẫn giải:

Giả sử có điểm A(xo; yo) mà đường thẳng đi qua

⇔ yo = (m – 2n + 1)xo – 2m + 4n – 3 với ∀ m, n

⇔ m(xo – 2) - 2n(xo – 2) + xo – 3 – yo = 0 với ∀m, n.

Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy đường thẳng đi qua điểm cố định (2; -1) với mọi m, n.

Bài 8: Chứng minh bốn đường thẳng y = (2m – 3)x – 4m + 5; y = (m + 1)x – 2m – 3; y = (2 – m)x + 2m – 5 và y = (1 – 3m)x + 6m – 3 luôn đồng quy tại một điểm với mọi m.

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn: Chứng minh cả 4 đường thẳng trên đều đi qua điểm cố định A(2; -1).

Bài 9: Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m – 1. Tìm m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị hàm số lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

+ Gọi (xo; yo) là điểm mà đường thẳng (d) đi qua với mọi m.

⇔ yo = (m – 2)xo + 2m – 1

⇔ m(xo + 2) – 2xo – 1 – yo = 0

Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua A(-2; 3).

+ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến (d)

Ta có OH vuông góc với đường thẳng, OA là đường xiên

⇒ OH ≤ OA.

Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

OH = OA ⇔ d ⊥ OA.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm O và A là y = -3/2x

+ d ⊥ OA ⇔ (m – 2). -3/2 = -1 ⇔ m – 2 = 2/3 ⇔ m = 8/3 .

Vậy m = 8/3 .

Bài 10: Cho hàm số: y = (3 – m)x + 3. Tìm m sao cho khoảng cách từ điểm B(1; 2) đến đồ thị hàm số là lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Cho hàm số: y = (3 – m)x + 3. Tìm m sao cho khoảng cách từ điểm B(1; 2) đến đồ thị hàm số là lớn nhất.

+ Gọi A(xo; yo) là điểm cố định mà đường thẳng (d): y = (3 – m)x + 3 đi qua.

⇔ yo = (3 – m)xo + 3 với

⇔ mxo + yo – 3xo – 3 = 0

Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy đường thẳng y = (3 – m)x + 3 luôn đi qua A(0; 3).

+ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B đến d.

BH là hình chiếu, BA là đường xiên

⇒ BH ≤ BA với mọi m .

+ BH = BA ⇔ d ⊥ BA.

+ Gọi đường thẳng đi qua B và A là y = ax + b

B(1; 2) và A(0; 3) ∈ y = ax + b ⇔ Cách làm Bài toán đường thẳng đi qua điểm cố định cực hay | Bài tập Toán 9 chọn lọc có giải chi tiết

Vậy đường thẳng đi qua A và B là AB: y = -x + 3.

+ d ⊥ AB ⇔ (3 – m).(-1) = -1 ⇔ 3 – m = 1 ⇔ m = 2.

Vậy m = 2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

300 BÀI GIẢNG GIÚP CON LUYỆN THI LỚP 10 CHỈ 399K

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa lớp 8 ôn hè. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.